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考虑点对点 MIMO 波束成形系统，假设发射端有
N
t
N_t
Nt 根天线，
N
r
N_r
Nr根接收天线，发射端发送已调复数信息向量为
x
x
x ，经过发射波束成形矩阵
F
F
F 的作用后加载到发射天线的各个阵元上，经过 MIMO 信道
H
H
H后的接收信号向量为：
y
=
H
F
x
+
n
y=HFx+n
y=HFx+n 其中，
n
n
n为复高斯白噪声，均值为
θ
\theta
θ，方差为
σ
2
\sigma^2
σ2 。 在接收端使用接收波束成形矩阵
W
W
W对接收信号进行加权合并运算：
W
H
y
=
W
H
H
F
x
+
W
H
n
W^Hy=W^HHFx+W^Hn
WHy=WHHFx+WHn 为便于分析，将波束成形矩阵
W
W
W和
F
F
F 归一化，即
W
H
W
=
F
H
F
=
I
W^HW=F^HF=I
WHW=FHF=I，使用最大化接收信噪比的准则来获取波束成形矩阵。为了最大化接收信噪比，发送波束成形矩阵应按照下式的最优化准则获取：
F
t
=
argmax
F
[
(
H
F
)
H
H
F
]
\mathbf{F}_{t}=\underset{\boldsymbol{F}}{\operatorname{argmax}}\left[(\mathbf{H} \mathbf{F})^{H} \mathbf{H} \mathbf{F}\right]
Ft=Fargmax[(HF)HHF] 根据凸优化理论中的 KKT 条件，
F
t
F_t
Ft 的列由
H
H
H
H^HH
HHH 的
N
s
N_s
Ns个最大的特征值对应的特征向量构成，其中
N
s
N_s
Ns为数据流数。同样，在接收端，接收波束成形矩阵
W
r
W_r
Wr的列由
H
H
H
H^HH
HHH 的
N
s
N_s
Ns 个最大的特征值对应的特征向量构成。根据矩阵理论可知，
F
t
F_t
Ft 与
W
r
W_r
Wr分别是对信道矩阵进行奇异值分解（Singular Value Decomposition，SVD）之后得到的右奇异矩阵与左奇异矩阵中最大的
N
s
N_s
Ns 个奇异值对应的奇异向量。 对信道矩阵
H
H
H进行SVD分解得到：
H
=
U
Λ
V
H
H=U\Lambda V^H
H=UΛVH 其中，
U
=
[
u
1
,
u
2
,
.
.
.
,
u
N
r
]
U=[u_1,u_2,...,u_{N_r}]
U=[u1,u2,...,uNr]是
N
r
N_r
Nr阶酉矩阵，
V
=
[
v
1
,
v
2
,
.
.
.
,
v
N
t
]
V=[v_1,v_2,...,v_{N_t}]
V=[v1,v2,...,vNt]是
N
t
N_t
Nt阶酉矩阵,
Λ
\Lambda
Λ是
N
r
×
N
t
N_r\times N_t
Nr×Nt阶对角阵，对角线上元素是H的
p
=
m
i
n
(
N
t
,
N
r
)
p=min(N_t,N_r)
p=min(Nt,Nr)个奇异值
σ
1
,
σ
2
,
.
.
.
,
σ
p
\sigma_1,\sigma_2,...,\sigma_p
σ1,σ2,...,σp，将其按递减的顺序排列，即
σ
1
>
σ
2
>
.
.
.
>
σ
p
\sigma_1>\sigma_2>...>\sigma_p
σ1>σ2>...>σp。于是，已知信道矩阵
H
H
H,最优的波束成形矩阵
W
r
W_r
Wr和
F
t
F_t
Ft分别为H的最大奇异值所对应的右奇异向量和左奇异向量：
W
r
=
U
[
1
:
N
s
]
W_r=U[1:N_s]
Wr=U[1:Ns]和
F
t
=
V
[
1
:
N
s
]
F_t=V[1:N_s]
Ft=V[1:Ns]，若发射信号功率归一化，则得到的最大信噪比为
σ
i
2
/
σ
2
,
i
=
1
,
.
.
.
,
N
s
\sigma_i^2/\sigma^2,i=1,...,N_s
σi2/σ2,i=1,...,Ns
参考文献： [1] 付自刚. 毫米波MIMO系统中波束成形研究[D]. 2016.
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