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推荐系统之矩阵分解及其Python代码实现
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有如下R(5,4)的打分矩阵：（“-”表示用户没有打分） 其中打分矩阵R(n,m)是n行和m列，n表示user个数，m行表示item个数
那么，如何根据目前的矩阵R（5,4）如何对未打分的商品进行评分的预测（如何得到分值为0的用户的打分值）？ ——矩阵分解的思想可以解决这个问题，其实这种思想可以看作是有监督的机器学习问题（回归问题）。 矩阵R可以近似表示为P与Q的乘积：R（n,m）≈ P(n,K)*Q(K,m) 矩阵分解的过程中，将原始的评分矩阵
矩阵P(n,K)表示n个user和K个特征之间的关系矩阵，这K个特征是一个中间变量，矩阵Q(K,m)的转置是矩阵Q(m,K)，矩阵Q(m,K)表示m个item和K个特征之间的关系矩阵，这里的K值是自己控制的，可以使用交叉验证的方法获得最佳的K值。为了得到近似的R(n,m)，必须求出矩阵P和Q，如何求它们呢？
【方法】 1. 首先令 2. 损失函数：使用原始的评分矩阵 如果R(i,j)已知，则R(i,j)的误差平方和为： 最终，需要求解所有的非“-”项的损失之和的最小值：
3. 使用梯度下降法获得修正的p和q分量： 求解损失函数的负梯度： 根据负梯度的方向更新变量：
4. 不停迭代直到算法最终收敛（直到sum(e^2)
（Plus：为了防止过拟合，增加正则化项） 【加入正则项的损失函数求解】 1. 首先令 2. 通常在求解的过程中，为了能够有较好的泛化能力，会在损失函数中加入正则项，以对参数进行约束，加入 L2">
L2">也即： L2">
3. 使用梯度下降法获得修正的p和q分量： 求解损失函数的负梯度： 根据负梯度的方向更新变量：
4. 不停迭代直到算法最终收敛（直到sum(e^2)
【预测】利用上述的过程，我们可以得到矩阵
【Python代码实现如下】（基于Python 3.X ；使用正则项） 1 # !/usr/bin/env python 2 # encoding: utf-8 3 __author__ = 'Scarlett' 4 #矩阵分解在打分预估系统中得到了成熟的发展和应用 5 # from pylab import * 6 import matplotlib.pyplot as plt 7 from math import pow 8 import numpy 9 10 11 def matrix_factorization(R,P,Q,K,steps=5000,alpha=0.0002,beta=0.02): 12 Q=Q.T # .T操作表示矩阵的转置 13 result=[] 14 for step in range(steps): 15 for i in range(len(R)): 16 for j in range(len(R[i])): 17 if R[i][j]>0: 18 eij=R[i][j]-numpy.dot(P[i,:],Q[:,j]) # .dot(P,Q) 表示矩阵内积 19 for k in range(K): 20 P[i][k]=P[i][k]+alpha*(2*eij*Q[k][j]-beta*P[i][k]) 21 Q[k][j]=Q[k][j]+alpha*(2*eij*P[i][k]-beta*Q[k][j]) 22 eR=numpy.dot(P,Q) 23 e=0 24 for i in range(len(R)): 25 for j in range(len(R[i])): 26 if R[i][j]>0: 27 e=e+pow(R[i][j]-numpy.dot(P[i,:],Q[:,j]),2) 28 for k in range(K): 29 e=e+(beta/2)*(pow(P[i][k],2)+pow(Q[k][j],2)) 30 result.append(e) 31 if e: 32 break 33 return P,Q.T,result 34 35 if __name__ == '__main__': 36 R=[ 37 [5,3,0,1], 38 [4,0,0,1], 39 [1,1,0,5], 40 [1,0,0,4], 41 [0,1,5,4] 42 ] 43 44 R=numpy.array(R) 45 46 N=len(R) 47 M=len(R[0]) 48 K=2 49 50 P=numpy.random.rand(N,K) #随机生成一个 N行 K列的矩阵 51 Q=numpy.random.rand(M,K) #随机生成一个 M行 K列的矩阵 52 53 nP,nQ,result=matrix_factorization(R,P,Q,K) 54 print("原始的评分矩阵R为：\n",R) 55 R_MF=numpy.dot(nP,nQ.T) 56 print("经过MF算法填充0处评分值后的评分矩阵R_MF为：\n",R_MF) 57 58 #-------------损失函数的收敛曲线图--------------- 59 60 n=len(result) 61 x=range(n) 62 plt.plot(x,result,color='r',linewidth=3) 63 plt.title("Convergence curve") 64 plt.xlabel("generation") 65 plt.ylabel("loss") 66 plt.show()
运行结果如下：
损失函数的收敛曲线图：
【代码的GitHub地址】 https://github.com/shenxiaolinZERO/CoolRSer/blob/master/CoolRSer/MatrixFactorization.py
【Reference】 1、 Matrix Factorization: A Simple Tutorial and Implementation in Python 2、矩阵分解在推荐系统的应用以及python代码的实现 |
Rm&＃x00D7;n">分解成两个矩阵
Rm&＃x00D7;n">Pm&＃x00D7;k">和
Rm&＃x00D7;n">Rm&＃x00D7;n">Pm&＃x00D7;k">Qk&＃x00D7;n">的乘积： 
之间的误差的平方作为损失函数，即：
L2">正则的损失函数为：
和
，Pm&＃x00D7;k">Qk&＃x00D7;n">这样便可以为用户 i i">对商品 j j">进行打分：
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