对称矩阵特征值分解

对称矩阵特征值分解是线性代数中的一个重要概念，它在许多领域

中都有着广泛的应用。在本文中，我们将介绍对称矩阵特征值分解

的概念、性质和应用。

对称矩阵特征值分解是指将一个对称矩阵分解为特征向量和特征值

的乘积的形式。具体来说，对于一个

n

阶对称矩阵

A

，它可以表示

为：

A = QΛQ^T

其中，

Q

是一个正交矩阵，

Λ

是一个对角矩阵，对角线上的元素就

是

A

的特征值，

Q

的列向量就是

A

的特征向量。

对称矩阵特征值分解有许多重要的性质。首先，对于任意一个对称

矩阵

A

，它的特征值都是实数。其次，对于不同的特征值，它们对

应的特征向量是正交的。这意味着我们可以将一个对称矩阵分解为

一组正交的特征向量和对应的特征值。最后，对于一个正定对称矩

阵，它的所有特征值都是正数。

对称矩阵特征值分解在许多领域中都有着广泛的应用。例如，在物

理学中，对称矩阵特征值分解可以用来求解量子力学中的哈密顿算

符的本征值和本征向量。在机器学习中，对称矩阵特征值分解可以

用来进行主成分分析（

PCA

）和线性判别分析（

LDA

）

。在图像处理

中，对称矩阵特征值分解可以用来进行图像压缩和图像去噪。