矩阵的运算及其运算规则 |
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原标题:矩阵的运算及其运算规则 今天清北学堂信息学金牌教研团队给大家汇总了一下矩阵的运算 一、矩阵的加法与减法 1、运算规则 设矩阵 则 清北学堂信息学金牌教研团队提醒,两个矩阵相加减,即它们相同位置的元素相加减!注意:只有对于两个行数、列数分别相等的矩阵(即同型矩阵),加减法运算才有意义,即加减运算是可行的. 2、运算性质(假设运算都是可行的) 满足交换律和结合律 交换律 ; 结合律 . 二、矩阵与数的乘法 1、运算规则数 乘矩阵A,就是将数 乘矩阵A中的每一个元素,记为 或 . 特别地,称 称为 的负矩阵. 2、运算性质 满足结合律和分配律 结合律:(λμ)A=λ(μA);(λ+μ)A =λA+μA. 分配律:λ(A+B)=λA+λB.典型例题例6.5.1 已知两个矩阵 满足矩阵方程 ,求未知矩阵 .解 由已知条件知 三、矩阵与矩阵的乘法 1、运算规则 设 , ,则A与B的乘积 是这样一个矩阵: (1) 行数与(左矩阵)A相同,列数与(右矩阵)B相同,即 . (2) C的第 行第 列的元素 由A的第 行元素与B的第 列元素对应相乘,再取乘积之和.典型例题例6.5.2 设矩阵 计算 解 是 的矩阵.设它为 想一想:设列矩阵 ,行矩阵 , 和 的行数和列数分别是多少呢 是3×3的矩阵, 是1×1的矩阵,即 只有一个元素.课堂练习 1、设 , ,求 . 2、在第1道练习题中,两个矩阵相乘的顺序是A在左边,B在右边,称为A左乘B或B右乘A.如果交换顺序,让B在左边,A在右边,即A右乘B,运算还能进行吗?请算算试试看.并由此思考:两个矩阵应当满足什么条件,才能够做乘法运算. 3、设列矩阵 ,行矩阵 ,求 和 ,比较两个计算结果,能得出什么结论吗? 4、设三阶方阵 ,三阶单位阵为 ,试求 解: 第1题 . 第2题 对于 , . 求 清北学堂信息学金牌教研团队结论 结论1 只有在下列情况下,两个矩阵的乘法才有意义,或说乘法运算是可行的:左矩阵的列数=右矩阵的行数. 第3题
. 结论2 在矩阵的乘法中,必须注意相乘的顺序.即使在 第4题 计算得: . 结论3 方阵A和它同阶的单位阵作乘积,结果仍为A,即 . 单位阵在矩阵乘法中的作用相当于数1在我们普通乘法中的作用.典型例题例6.5.3 设
.解 . 结论4 两个非零矩阵的乘积可以是零矩阵.由此若 例6.5.4 利用矩阵的乘法,三元线性方程组 可以写成矩阵的形式 = 若记系数、未知量和常数项构成的三个矩阵分别为 , , , 则线性方程组又可以简写为矩阵方程的形式: 2、运算性质(假设运算都是可行的) (1) 结合律 . (2) 分配律 (左分配律); (右分配律). (3) 3、方阵的幂定义:设A是方阵, 显然,记号 下面是有清北学堂信息学金牌教研团队给大家总结的矩阵的转置 四、矩阵的转置 1、定义 定义:将矩阵A的行换成同序号的列所得到的新矩阵称为矩阵A的转置矩阵,记作 或 . 例如,矩阵 2、运算性质(假设运算都是可行的) (1) (2) 2、运算性质(假设运算都是可行的) (1) 验证运算性质: 解 而 所以 . 定义:如果方阵满足 对称矩阵的特点是:它的元素以主对角线为对称轴对应相等. 五、方阵的行列式 1、定义 定义:由方阵A的元素所构成的行列式(各元素的位置不变),称为方阵A的行列式,记作 或 2、运算性质 (1) (行列式的性质) (2) ,特别地: (3) ( 是常数,A的阶数为n)思考:设A为 阶方阵,那么 的行列式 与A的行列式 之间的关系为什么不是 ,而是 ? 不妨自行设计一个二阶方阵,计算一下 和 . 例如 ,则 . 于是 ,而 .思考:设 ,有几种方法可以求 ?解 方法一:先求矩阵乘法 ,得到一个二阶方阵,再求其行列式. 方法二:先分别求行列式
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