矩阵的定义及其相关运算

2024-07-14 04:37| 来源: 网络整理| 查看: 265

在将矩阵之前，我们先讲一讲‘标量’，‘向量’，‘矩阵’。

标量(scaler)在机器学习中就是一个简单的数字，eg.1,2,3....

矩阵(matrix)

定义：一个按照长方阵列排列的复数或实数集合(我们目前先只讨论实数的情况)。

一个2*3的矩阵表示一个框框，有2行3列，一共有6个数字，这个框框里的六个数字可以随便填，可以是正数，可以是负数，这里我们不妨举例子为 $\begin{bmatrix} 1 &2 &3 \\ 4&5 &6 \end{bmatrix}$ ，同理一个a*b的矩阵表示有a行b列，一共有a*b个元素(其中a和b都是正整数，a和b之间没有数量关系，当然，a和b可以相等，a=b时我们把它叫做方阵)

当b=1时矩阵就变成了一个向量(vector)，即a*1，即向量是矩阵的一种特殊的形式，eg $\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{bmatrix}$ ,就表示一个向量，因为一共有四个元素，我们也将它称为‘四维向量’

矩阵运算

一、矩阵和实数之间的运算

1.矩阵和实数的乘法

$\begin{bmatrix} 1 &2 &3 \\ 4&5 &6 \end{bmatrix}$ * 2 = $\begin{bmatrix} 2 & 4 &6 \\ 8& 10 & 12 \end{bmatrix}$ ，即用矩阵中的对应元素依次和实数相乘，我们上面说过，标量表示为1，2，3等等数字，即这里乘法中的2也可以表示为标量，即标量和矩阵之间可以相乘。

矩阵和实数之间的相乘符合交换律，即 $\begin{bmatrix} 1 &2 &3 \\ 4&5 &6 \end{bmatrix}$ *2 = 2 * $\begin{bmatrix} 1 &2 &3 \\ 4&5 &6 \end{bmatrix}$

2.矩阵和实数之间的除法

$\begin{bmatrix} 2 & 4 &6 \\ 8& 10 & 12 \end{bmatrix}$ / 2 = $\begin{bmatrix} 1 &2 &3 \\ 4&5 &6 \end{bmatrix}$ ，我们知道除法是乘法的逆运算，则除法的步骤和上方所述步骤一样，这里注意！！！！矩阵在出发运算中只能做被除数，不能做除数即 $\begin{bmatrix} 2 & 4 &6 \\ 8& 10 & 12 \end{bmatrix}$ / 2 是正确的，2/ $\begin{bmatrix} 2 & 4 &6 \\ 8& 10 & 12 \end{bmatrix}$ 是错误的，我们计算不出结果。

####上面我们说过向量是特殊的矩阵，则满足矩阵的运算对向量也适用####

3.矩阵和实数之间没有加减法

二、矩阵和矩阵之间的运算

1.矩阵和矩阵之间的加法

某个矩阵的形式为 $a_{1}*b_{1}$ ,另一个矩阵的形式为 $a_{2}*b_{2}$ ，只有当两个矩阵的形式完全一样的时候才可以相乘，即 $a_{1}=a_{2},b_{1}=b_{2}$ 时两矩阵才能进行乘法。我们举一个例子！

$\begin{bmatrix} 4 & 5& 7\\ 5&7 &3 \end{bmatrix}$ + $\begin{bmatrix} 7 & 6 &2 \\ 1& 8& 3 \end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix} 11 & 11 &9 \\ 6 & 15 &6 \end{bmatrix}$ ,即数组每一个位置上的数字对应相加

2.矩阵与矩阵之间的减法

矩阵之间的减法运算同样也要满足 $a_{1}=a_{2},b_{1}=b_{2}$ 的条件，我们还是举个例子

$\begin{bmatrix} 4 & 5& 7\\ 5&7 &3 \end{bmatrix}$ - $\begin{bmatrix} 7 & 6 &2 \\ 1& 8& 3 \end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix} -3 & -1 & 5\\ 4& -1& 0 \end{bmatrix}$ ,同样对应位置上的数据进行相减。

###这里我们可以做一个小总结，‘矩阵和实数的乘法’和‘矩阵和矩阵之间的运算’所得到的最终的矩阵的形式和原矩阵一样，a和b都不会改变，同样，向量也满足以上的规则

3.矩阵和矩阵之间的乘法

某个矩阵的形式为 $a_{1}*b_{1}$ ,另一个矩阵的形式为 $a_{2}*b_{2}$ ，只有当 $a_{2}=b_{1}$ 或 $a_{1}=b_{2}$ 时才可以进行乘法，当然这两个条件也可以满足一个，也可以两个都满足。

我们先讨论只满足一个条件时的情况

###1. $a_{2}=b_{1}$ 或 $a_{1}=b_{2}$ 时

这两种情况一样，我们不妨只讨论 $a_{2}=b_{1}$ 的情况

我们这里先给出结论( $a_{1}*b_{1}$ )*( $a_{2}*b_{2}$ )=( $a_{1}*b_{2}$ )

即在 $a_{2}=b_{1}$ 的前提下，一个 $a_{1}$ 行 $b_{1}$ 列的矩阵和一个 $a_{2}$ 行 $b_{2}$ 列的矩阵相乘后，我们会得到一个 $a_{1}$ 行 $b_{2}$ 列的矩阵。

我们还是举一个例子(3*4)*(4*2)=(3*2)我们最终会得到一个3*2的矩阵

$\begin{bmatrix} 7 & 4 & 8&4 \\ 6 & 5 &4 & 6\\ 2 & 9& 2 & 1 \end{bmatrix}$ * $\begin{bmatrix} 1& 2\\ 3& 4\\ 6&5 \\ 7&8 \end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix} 95 &102 \\ 87& 100\\ 48& 58 \end{bmatrix}$ (这里自己看看作者的运算过程吧，作者实在不知道怎么用语言来表达，则就是人们所说的‘只能意会，不能言传’吧)

7*1+4*3+8*6+4*7=95

7*2+4*4+8*5+4*8=102

6*1+5*3+4*6+6*7=87

6*2+5*4+4*5+6*8=100

2*1+9*3+2*6+1*7=48

2*2+9*4+2*5+1*8=58

###2. $a_{1}=a_{2},b_{1}=b_{2}$ 时，这里的运算和上面第一种情况一样，但是有一点需要注意

我们举一个例子

(3*2)*(2*3)=(3*3)和(2*3)*(3*2)=(2*2)，这个是两种结果，第一种我们得到的是一个（3*3）的数组，第二种情况下我们得到的是一个（2*2）的数组，相乘的两个数组交换位置后，得出的结果是一样的。

###3.最特殊的一种情况 $a_{1}$ = $b_{1}$ = $a_{2}$ = $b_{2}$ 时

我们还是举一个例子

$\begin{bmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{bmatrix}$ * $\begin{bmatrix} 5 &6 \\ 7& 8 \end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix} 19 & 22\\ 43 & 50 \end{bmatrix}$

1*5+2*7=19

1*6+2*8=22

3*5+4*7=43

3*6+4*8=50

我们交换位置后

$\begin{bmatrix} 5 &6 \\ 7& 8 \end{bmatrix}$ * $\begin{bmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix} 23 &34 \\ 31& 46 \end{bmatrix}$

5*1+6*3=23

5*2+6*4=34

7*1+8*3=31

7*2+8*4=46

这里我们可以看出， $a_{1}$ = $b_{1}$ = $a_{2}$ = $b_{2}$ 时，相乘的两个矩阵交换位置后，虽然都得到一个2*2的矩阵，但是矩阵中的元素都是不同的，这里我们要注意，家人们。

三、矩阵的逆运算

在讲矩阵的逆运算之前，我们先讲一些特殊的矩阵

eg. $\begin{bmatrix} 2 &0 & 0\\ 0& 3 & 0\\ 0 & 0& 1 \end{bmatrix}$ 就是一个对角矩阵,而 $\begin{bmatrix} 0 &0 &0 \\ 0& 2 & 0\\ 0& 0 & 3 \end{bmatrix}$ 不是一个对角矩阵， $\begin{bmatrix} 1 & 0&0 \\ 0& 1 & 0\\ 0& 0& 1 \end{bmatrix}$ 就是一个单位矩阵

（建议读者先理解‘主对角线’的意思）

前面我们讲了若一个矩阵 $a_{1}$ = $b_{1}$ 则我们把它称为一个方阵，只有方阵才可以进行逆运算

我们不妨给这个方阵取一个名字称为A，这个方阵有一个逆矩阵我们把它写作 $A^{-1}$ ,方阵A和它的逆矩阵满足A* $A^{-1}$ =B，而这个矩阵B是一个单位矩阵，同时矩阵A和它的逆矩阵 $A^{-1}$ 满足乘法交换律，即A* $A^{-1}$ = $A^{-1}$ *A=B(单位矩阵)

这里我们要注意一下，矩阵A和 $A^{-1}$ 以及B它们的形式是一样的，若一个为2*2，则三个都为2*2

但并不是所有的方阵都有逆矩阵，eg $\begin{bmatrix} 0 &0 \\ 0& 0 \end{bmatrix}$ 该矩阵没有逆矩阵。而这种没有逆矩阵的矩阵我们把它叫做‘奇异矩阵’或‘退化矩阵’

四、矩阵的转置运算

我们已知一个矩阵A= $\begin{bmatrix} 1 & 2 & 0\\ 3& 5& 9 \end{bmatrix}$ ,我们求它的转置矩阵 $A^T$ = $\begin{bmatrix} 1& 3\\ 2&5 \\ 0& 9 \end{bmatrix}$ ,如图我们把第一个矩阵的行，当作第二个矩阵的列，家人们看例子也应该能很容易理解。

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