算法： 给定 n × n n \times n n×n矩阵 A \pmb A AAA,由泰勒展开式可得 e A t = I + A t + 1 2 ! A 2 t 2 + . . . + 1 n ! A n t n + . . . e^{At}=\pmb I+\pmb At+\frac{1}{2!}\pmb A^2t^2+...+\frac{1}{n!}\pmb A^nt^n+... eAt=III+AAAt+2!1​AAA2t2+...+n!1​AAAntn+...

算法1： 给定 n × n n \times n n×n矩阵 A \pmb A AAA，且其 n n n个特征值 λ 1 , λ 2 , . . . λ n \lambda_1,\lambda_2,...\lambda_n λ1​,λ2​,...λn​两两互异，表由矩阵 A A A的属于各个特征值的右特征向量组成的变换矩阵 P \pmb P PPP为 P = [ p 1 , p 2 , . . . , p n ] , \pmb P=[p_1,p_2,...,p_n], PPP=[p1​,p2​,...,pn​],则计算 e A t e^{At} eAt的算式为 e A t = P [ e λ 1 t e λ 2 t ⋱ e λ n t ] P − 1 e^{At}=\pmb P\begin{bmatrix}e^{\lambda_1t}&&&\\&e^{\lambda_2t}&&\\&&\ddots\\&&&e^{\lambda_nt}\end{bmatrix}\pmb P^{-1} eAt=PPP⎣⎢⎢⎡​eλ1​t​eλ2​t​⋱​eλn​t​⎦⎥⎥⎤​PPP−1

算法2： 给定 n × n n \times n n×n矩阵 A \pmb A AAA,其特征值属于包含重值情况。为使符号不致过于复杂，设 n = 5 n=5 n=5,特征值 λ 1 \lambda_1 λ1​（代数重数 σ 1 = 3 \sigma_1=3 σ1​=3,几何重数 α 1 = 1 \alpha_1=1 α1​=1), λ 2 ( σ 2 = 2 , α 2 = 1 ) \lambda_2(\sigma_2=2,\alpha_2=1) λ2​(σ2​=2,α2​=1)。再表由矩阵 A \pmb A AAA的属于 λ 1 \lambda_1 λ1​和 λ 2 \lambda_2 λ2​的广义特征向量组组所构成的变换矩阵 P \pmb P PPP,且基于约当规范形可把 A \pmb A AAA化为如下形式： A = P [ λ 1 1 0 0 0 0 λ 1 1 0 0 0 0 λ 1 0 0 0 0 0 λ 2 1 0 0 0 0 λ 2 ] P − 1 \pmb A=\pmb P\left[\begin{array}{ccc|cc}\lambda_1&1&0&0&0\\0&\lambda_1&1&0&0\\0&0&\lambda_1&0&0\\ \hline 0&0&0&\lambda_2&1\\0&0&0&0&\lambda_2\end{array}\right]\pmb P^{-1} AAA=PPP⎣⎢⎢⎢⎢⎡​λ1​0000​1λ1​000​01λ1​00​000λ2​0​0001λ2​​​⎦⎥⎥⎥⎥⎤​PPP−1

算法： ** 给定 n × n n \times n n×n矩阵 A \pmb A AAA,则计算 e A t e^{At} eAt的算式为 e A t = α 0 ( t ) I + α 1 ( t ) A + . . . + α n − 1 ( t ) A n − 1 e^{At}=\alpha_0(t)I+ \alpha_1(t)\pmb A+...+\alpha_{n-1}(t)\pmb A^{n-1} eAt=α0​(t)I+α1​(t)AAA+...+αn−1​(t)AAAn−1其中，对 A \pmb A AAA的特征值 λ 1 , λ 2 , . . . λ n \lambda_1,\lambda_2,...\lambda_n λ1​,λ2​,...λn​两两互异的情况下，系数 { α 0 , α 1 , . . . , α n − 1 } \{\alpha_0,\alpha_1,...,\alpha_{n-1}\} {α0​,α1​,...,αn−1​}的计算关系式为 [ α 0 α 1 ⋮ α n − 1 ] = [ 1 λ 1 λ 1 2 . . . λ 1 n − 1 1 λ 2 λ 2 2 . . . λ 2 n − 1 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 1 λ n λ n 2 . . . λ n n − 1 ] [ e λ 1 t e λ 2 t ⋮ e λ n t ] \begin{bmatrix}\alpha_0\\\alpha_1\\\vdots\\\alpha_{n-1}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&\lambda_1&\lambda_1^2&...&\lambda_1^{n-1}\\1&\lambda_2&\lambda_2^2&...&\lambda_2^{n-1}\\\vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\1&\lambda_n&\lambda_n^2&...&\lambda_n^{n-1}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}e^{\lambda_1t}\\e^{\lambda_2t}\\\vdots\\e^{\lambda_nt}\end{bmatrix} ⎣⎢⎢⎢⎡​α0​α1​⋮αn−1​​⎦⎥⎥⎥⎤​=⎣⎢⎢⎢⎡​11⋮1​λ1​λ2​⋮λn​​λ12​λ22​⋮λn2​​.........​λ1n−1​λ2n−1​⋮λnn−1​​⎦⎥⎥⎥⎤​⎣⎢⎢⎢⎡​eλ1​teλ2​t⋮eλn​t​⎦⎥⎥⎥⎤​对 A \pmb A AAA的特征值包含重值如特征值 λ 1 \lambda_1 λ1​（代数重数 σ 1 = 3 \sigma_1=3 σ1​=3,几何重数 α 1 = 1 \alpha_1=1 α1​=1), λ 2 ( σ 2 = 2 , α 2 = 1 ) , λ 3 , . . . , λ n − 3 \lambda_2(\sigma_2=2,\alpha_2=1),\lambda_3,...,\lambda_{n-3} λ2​(σ2​=2,α2​=1),λ3​,...,λn−3​情形，系数 { α 0 , α 1 , . . . , α n − 1 } \{\alpha_0,\alpha_1,...,\alpha_{n-1}\} {α0​,α1​,...,αn−1​}的计算关系式为 [ α 0 α 1 α 2 α 3 α 4 α 5 ⋮ α n − 1 ] = [ 0 0 1 3 λ 1 . . . ( n − 1 ) ( n − 2 ) 1 ! λ 1 n − 3 0 1 2 λ 1 3 λ 1 2 . . . ( n − 1 ) 1 ! λ 1 n − 2 1 λ 1 λ 1 2 λ 1 3 . . . λ 1 n − 1 0 1 2 λ 2 3 λ 2 2 . . . ( n − 1 ) 1 ! λ 2 n − 2 1 λ 2 λ 2 2 λ 2 3 . . . λ 2 n − 1 1 λ 3 λ 3 2 λ 3 3 . . . λ 3 n − 1 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 1 λ n − 3 λ n − 3 2 λ n − 3 3 . . . λ n − 3 n − 1 ] [ 1 2 ! t 2 e λ 1 t 1 1 ! t e λ 1 t e λ 1 t 1 1 ! t e λ 2 t e λ 2 t e λ 3 t ⋮ e λ n − 3 t ] \begin{bmatrix}\alpha_0\\\alpha_1\\\alpha_2\\ \hline \alpha_3\\\alpha_4\\\hline \alpha_5\\\vdots\\\alpha_{n-1}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&0&1&3\lambda_1&...&\frac{(n-1)(n-2)}{1!}\lambda_1^{n-3}\\ 0&1&2\lambda_1&3\lambda_1^2&...&\frac{(n-1)}{1!}\lambda_1^{n-2}\\ 1&\lambda_1&\lambda_1^2& \lambda_1^3&...&\lambda_1^{n-1}\\ \hline 0&1&2\lambda_2&3\lambda_2^2&...&\frac{(n-1)}{1!}\lambda_2^{n-2}\\ 1&\lambda_2&\lambda_2^2&\lambda_2^3&...&\lambda_2^{n-1}\\ \hline 1&\lambda_3&\lambda_3^2&\lambda_3^3&...&\lambda_3^{n-1}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\ 1&\lambda_{n-3}&\lambda_{n-3}^2&\lambda_{n-3}^3&...&\lambda_{n-3}^{n-1}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\frac{1}{2!}t^2e^{\lambda_1t}\\\frac{1}{1!}te^{\lambda_1t}\\e^{\lambda_1t}\\\hline \frac{1}{1!}te^{\lambda_2t}\\e^{\lambda_2t}\\\hline e^{\lambda_3t}\\\vdots\\e^{\lambda_{n-3}t}\end{bmatrix} ⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡​α0​α1​α2​α3​α4​α5​⋮αn−1​​​⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤​=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡​001011⋮1​01λ1​1λ2​λ3​⋮λn−3​​12λ1​λ12​2λ2​λ22​λ32​⋮λn−32​​3λ1​3λ12​λ13​3λ22​λ23​λ33​⋮λn−33​​.....................​1!(n−1)(n−2)​λ1n−3​1!(n−1)​λ1n−2​λ1n−1​1!(n−1)​λ2n−2​λ2n−1​λ3n−1​⋮λn−3n−1​​​⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤​⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡​2!1​t2eλ1​t1!1​teλ1​teλ1​t1!1​teλ2​teλ2​teλ3​t⋮eλn−3​t​​⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤​

算法： 给定 n × n n \times n n×n矩阵 A \pmb A AAA,得到矩阵 ( s I − A ) − 1 (sI-\pmb A)^{-1} (sI−AAA)−1，则计算 e A t e^{At} eAt的算式为 e A t = L − 1 ( s I − A ) − 1 e^{At}=\mathscr{L} ^{-1} (sI-\pmb A)^{-1} eAt=L−1(sI−AAA)−1

矩阵 ( s I − A ) − 1 (sI-\pmb A)^{-1} (sI−AAA)−1通常的算法为先求出 ∣ s I − A ∣ |sI-\pmb A| ∣sI−AAA∣，再求 ( s I − A ) ∗ (sI-\pmb A)^* (sI−AAA)∗,通过公式 ( s I − A ) − 1 = ( s I − A ) ∗ ∣ s I − A ∣ (sI-\pmb A)^{-1}=\frac{(sI-\pmb A)^*}{|sI-\pmb A|} (sI−AAA)−1=∣sI−AAA∣(sI−AAA)∗​计算出来。

郑大钟.线性系统理论[M].北京:清华大学出版社,2002:91.