一，线性的变量代换： 耦合的方程组： { u = a x + b y v = c x + d y \left\{\begin{matrix}u=ax+by\\ v=cx+dy\end{matrix}\right. { u=ax+byv=cx+dy​，求u，v 解耦后的两个一阶方程： { u ′ = k 1 u v ′ = k 2 v \left\{\begin{matrix}{u}'=k_{1}u \\ {v}'=k_{2}v\end{matrix}\right. { u′=k1​uv′=k2​v​，解得： { u = c 1 e k 1 t v = c 2 e k 2 t \left\{\begin{matrix}u=c_{1}e^{k_{1}t} \\ v=c_{2}e^{k_{2}t} \end{matrix}\right. { u=c1​ek1​tv=c2​ek2​t​

二，例题： 如图，两个下端相通的隔间（平时关着通道），盛着不同高度的水，右侧隔间体积比左侧大一倍。x表示左隔间水的高度，y表示右隔间水的高。打开通道，经过一段时间后，水通过下端通道，两边水面高度会平齐。 分析： 通过下端通道的水的体积=通道的横截面积 x 水的流速（单位：mL/s） 水的流速 ∝ \propto ∝两边水面的压力差 ∝ \propto ∝两边水面的高度差。 ∝ \propto ∝表示正比关系 因此，通过下端通道的水的体积 ∝ \propto ∝通道的横截面积 x 两边水面的高度差 建模： x ′ = c ( y − x ) {x}'=c(y-x) x′=c(y−x) 含义：x高度的变化率=比例常数（包含通道横截面积，高度差和压力差之间的比例常数）x两边水面的高度差（考虑x是正向变化，因此是y-x） 同理： y ′ = c ( x − y ) {y}'=c(x-y) y′=c(x−y) 因为右侧隔间的体积是左边的2倍，所以y高度的变化率是x的一半： y ′ = c ( x − y ) ⋅ 1 2 {y}'=c(x-y)\cdot \frac{1}{2} y′=c(x−y)⋅21​ 假设：c=2 建立方程组： { x ′ = − 2 x + 2 y y ′ = x − y \left\{\begin{matrix}{x}'=-2x+2y\\ {y}'=x-y\end{matrix}\right. { x′=−2x+2yy′=x−y​ 解耦： 找寻新变量 [ u v ] \begin{bmatrix}u\\ v \end{bmatrix} [uv​]，这是从新角度分析问题并建模的过程。 设v是高度差： v = x − y v=x-y v=x−y，v ∝ \propto ∝两边水面的压力差 设u是总水量： u = x + 2 y u=x+2y u=x+2y，u是一个常数，因为没有水从外面流进和流走 将原方程组转化为新方程组： { u ′ = x ′ + 2 y ′ = − 2 x + 2 y + 2 ( x − y ) = 0 v ′ = x ′ − y ′ = − 2 x + 2 y − ( x − y ) = − 3 ( x − y ) = − 3 v \left\{\begin{matrix}{u}'={x}'+2{y}'=-2x+2y+2(x-y)=0 \\ {v}'={x}'-{y}'= -2x+2y-(x-y)=-3(x-y)=-3v \end{matrix}\right. { u′=x′+2y′=−2x+2y+2(x−y)=0v′=x′−y′=−2x+2y−(x−y)=−3(x−y)=−3v​ 新变量u和v使原方程组解耦了。 解得： { u = c 1 v = c 2 e − 3 t \left\{\begin{matrix}u=c_{1}\\ v=c_{2}e^{-3t}\end{matrix}\right. { u=c1​v=c2​e−3t​ 转化为x和y的解（非必须）： { x = 1 3 ( u + 2 v ) = 1 3 ( c 1 + 2 c 2 e − 3 t ) y = 1 3 ( u − v ) = 1 3 ( c 1 − c 2 e − 3 t ) \left\{\begin{matrix}x=\frac{1}{3}(u+2v)=\frac{1}{3}(c_{1}+2c_{2}e^{-3t}) \\ y=\frac{1}{3}(u-v)=\frac{1}{3}(c_{1}-c_{2}e^{-3t})\end{matrix}\right. { x=31​(u+2v)=31​(c1​+2c2​e−3t)y=31​(u−v)=31​(c1​−c2​e−3t)​ 化为矩阵形式： [ x y ] = 1 3 c 1 [ 1 1 ] + 1 3 c 2 [ 2 − 1 ] e − 3 t \begin{bmatrix}x\\ y\end{bmatrix}=\frac{1}{3}c_{1}\begin{bmatrix}1\\ 1\end{bmatrix}+\frac{1}{3}c_{2}\begin{bmatrix}2\\ -1\end{bmatrix}e^{-3t} [xy​]=31​c1​[11​]+31​c2​[2−1​]e−3t

三，一般的方法： 不是所有情况都可以解耦，解耦的条件：

基变换（寻找新变量 [ u v ] \begin{bmatrix}u\\ v\end{bmatrix} [uv​]）： 设原方程组： x ⃗ ′ = A x ⃗ {\vec{x}}'=A\vec{x} x ′=Ax ， x ⃗ = [ x y ] , u ⃗ = [