矩阵乘法，这个名字是有历史原因的。详情可以参见 线性代数（一）矩阵、矩阵乘法的由来 。

更正确的观点是把矩阵看作函数，这样或许很多疑惑就可以迎刃而解。

1 矩阵是一个函数

1.1 直线函数与矩阵

我们熟悉的直线函数：

ax=y\\

把 (x,0) 点映射到 (0,ax) 点：

我们通过矩阵：

A\vec{x}=\vec{y}\\

也可以完成这个映射。

令：

A=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ a & 0 \end{pmatrix}\\

也可以完成：

A\vec{x}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ a & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ ax \end{pmatrix}\\

1.2 矩阵的优点

对于：

ax=y,x\in \mathbb {R},y\in \mathbb {R}\\

只能完成实数到实数的映射：

x\to y\implies \mathbb {R}\to \mathbb {R}\\

但是：

A\vec{x}=\vec{y},\vec{x}\in \mathbb {R}^ n,\vec{y}\in \mathbb {R}^ m\\

可以完成更广泛的映射：

\vec{x}\to \vec{y}\implies \mathbb {R}^ n\to \mathbb {R}^ m\\

为了完成这一点，矩阵 A 就不再是系数 a 了，而是一个函数（或者说是映射）。

或许写成这样，矩阵乘法看起来更像是函数：

A(\vec{x})=\vec{y}\\

假设 \vec{x} 所在平面为 V ，而 \vec{y} 所在平面为 W ， \vec{x} 通过矩阵 A 映射到了 \vec{y} ，可以如下表示：

A 这个映射的特殊之处是， V 上的直线通过 A 映射到 W 上也是直线：

所以矩阵也被称为线性映射。

2 矩阵函数的工作方式

2.1 具体的矩阵作为例子

我们来通过一个具体的矩阵进行讲解，令：

A=\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\qquad \vec{a}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}\qquad \vec{b}=\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \end{pmatrix}\\

\vec{a} 会通过 A 映射到 \vec{b} ，即（这里先给出结论，后面马上就会说明是如何映射的）：

\vec{a}\xrightarrow {\quad A\quad }\vec{b}\\

用图可以如下表示（为了方便后面的讲解，把之前表示线性映射的3D图变为2D图）：

在这里 V 和 W 都是 \mathbb {R}^2 。

2.2 基

研究线性映射，最重要的是搞清楚当前处在哪个基下。

\vec{a},\vec{b} 的基默认为各自向量空间下的自然基（后面会有不默认为自然基的情况），其自然基为（即 \mathbb {R}^2 下的自然基）：

\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}\qquad \vec{j}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\\

所以：

\vec{a}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}=1\vec{i}+1\vec{j}\qquad \vec{b}=\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \end{pmatrix}=0\vec{i}+2\vec{j}\\

如下，表示 \vec{a},\vec{b} 在各自向量空间的自然基下：

2.2 工作原理

为了说清楚 A 是怎么工作的，我们把 A 也用一个空间表示， V 会通过 A 映射到 W ：

我们来看看根据矩阵乘法的规则， A\vec{a}=\vec{b} 计算如下：

A\vec{a}=\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}=1\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}+1\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \end{pmatrix}\\

我们令：

\vec{c_1}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}\qquad \vec{c_2}=\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}\\

这样看着更清晰：

\vec{a}=1\vec{i}+1\vec{j}\xrightarrow {\quad A \quad }\vec{b}=1\vec{c_1}+1\vec{c_2}\\

也就是说， A\vec{a} 的机制是，坐标保持不变但基发生了变化，所以导致了位置发生变化：

再将 A\vec{x} 向量用自然基表示:

整体来说，就是基改变，导致向量的坐标发生变化：

2.3 传送门

A 有点像可以穿越时空的传送门：

只是这是一个比较死板的传送门，它的传送规则是，根据你进入传送门的时空坐标，把你送到另外一个时空对应的位置：

3 复合函数

通过 G 把 \vec{x} 映射到 G(\vec{x}) ：

再通过 F 把 G(\vec{x}) 映射到 \vec{y} ：

矩阵的乘法 FG 可以如下图所示：

所以 FG 实际上就是复合函数：

FG\vec{x}\implies F(G(\vec{x}))\\

4 矩阵乘法不满足交换律

函数一般是不满足交换律的，比如：

f(x)=sin(x)\qquad g(x)=x^2\\

那么：

f(g(x))=sin(x^2)\ne g(f(x))=sin^2(x)\\

那么矩阵乘法不满足交换律也很好理解了。

5 总结

弄清楚矩阵就是函数之后，很多定理、性质都可以很清晰的推出，这个我们后面再讲。

打一个硬广，这是《马同学线性代数基础班》里面的内容，对此感兴趣的可以到公众号：“马同学高等数学“去报名参加。

文章最新版本在（有可能会有后续更新）：如何理解矩阵乘法？

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