3D太阳系+特洛伊小行星群

图片上传之后不知为何帧率降低了许多。。。

所谓三体，就是三个物体在重力作用下的运动。由于三点共面，所以三个质点仅在重力作用下的运动轨迹也必然无法逃离平面。

三体运动所遵循的规律就是古老而经典的万有引力

F ⃗ = G m i m j r 2 e ⃗ r \vec F=\frac{Gm_im_j}{r^2}\vec e_r F =r2Gmi​mj​​e r​

则对于 m i m_i mi​而言，

m i d v ⃗ i d t = G m i m j r i j 3 r ⃗ i j m_i\frac{\text d\vec v_i}{\text dt}=\frac{Gm_im_j}{r_{ij}^3}\vec r_{ij} mi​dtdv i​​=rij3​Gmi​mj​​r ij​

且

d r ⃗ i d t = v ⃗ i \frac{\text d\vec r_i}{\text dt}=\vec v_i dtdr i​​=v i​

将其写为差分形式

v ⃗ i = ∑ j ≠ i G m j r i j 3 r ⃗ i j d t r ⃗ i = v ⃗ i d t \begin{aligned} \vec v_i&=\sum_{j\not=i}\frac{Gm_j}{r_{ij}^3}\vec r_{ij}\text dt\\ \vec r_i&= \vec v_i\text dt \end{aligned} v i​r i​​=j=i∑​rij3​Gmj​​r ij​dt=v i​dt​

由于我们希望观察三体运动的复杂形式，而不关系其随对应的宇宙星体，所以不必考虑单位制，将其在二维平面坐标系中拆分，令 v ⃗ = ( u , v ) \vec v=(u,v) v =(u,v)，则

u i + = ∑ j ≠ i G m j ( x j − x i ) d t ( x i − x j ) 2 + ( y i − y j ) 2 3 v i + = ∑ j ≠ i G m j ( y j − y i ) d t ( x i − x j ) 2 + ( y i − y j ) 2 3 x i + = u ⃗ i d t y i + = v ⃗ i d t \begin{aligned} u_i&+=\sum_{j\not=i}\frac{Gm_j(x_j-x_i)\text dt}{\sqrt{(x_i-x_j)^2+(y_i-y_j)^2}^3}\\ v_i&+=\sum_{j\not=i}\frac{Gm_j(y_j-y_i)\text dt}{\sqrt{(x_i-x_j)^2+(y_i-y_j)^2}^3}\\ x_i&+= \vec u_i\text dt\\ y_i&+= \vec v_i\text dt \end{aligned} ui​vi​xi​yi​​+=j=i∑​(xi​−xj​)2+(yi​−yj​)2 ​3Gmj​(xj​−xi​)dt​+=j=i∑​(xi​−xj​)2+(yi​−yj​)2 ​3Gmj​(yj​−yi​)dt​+=u i​dt+=v i​dt​

太阳、地球和月亮就是一个典型的三体系统，其中太阳质量为 1.989 × 1 0 30 k g 1.989×10^{30}kg 1.989×1030kg，地球质量为 5.965 × 1 0 24 k g 5.965×10^{24}kg 5.965×1024kg，月球质量为 7.342 ✕ 1 0 22 k g 7.342✕10^{22}kg 7.342✕1022kg，万有引力常数为 G = 6.67 × 1 0 − 11 N ⋅ m 2 / k g 2 G=6.67×10^{-11}N·m2/kg^2 G=6.67×10−11N⋅m2/kg2。地月距离为 3.8 × 1 0 8 m 3.8\times10^8m 3.8×108m；日地距离为 1.5 × 1 0 11 m 1.5\times10^{11}m 1.5×1011m；地球公转速度为 28.8 k m / s 28.8km/s 28.8km/s；月球公转速度为 1 k m / s 1km/s 1km/s，则各参数初始化为

由于地月之间的距离相对于日地距离太近，所以在画图的时候将其扩大100倍，得到图像

尽管存在误差，但最起码看到了地球围绕太阳转，月球围绕地球转。。。代码为

得到

这个运动要比月球的运动简单得多——前提是开上帝视角，俯瞰太阳系。如果站在地球上观测火星的运动，那么这个运动可能相当带感

所以这都能找到规律，托勒密那帮人也真够有才的。

由于太阳和其他星体之间的质量相差悬殊，所以太阳系内的多体运动，都将退化为二体问题，甚至如果把太阳当作不动点，那就成了单体问题了。

尽管如此，我们还是尽可能地模仿一下太阳系的运动情况

除了水星偏心率为0.2，对黄道面倾斜为7°之外，其余行星的偏心率皆小于0.1，且对黄道面倾斜普遍小于4°。由于水星的轨道太小，偏不偏心其实都不太看得出来，所以就当它是正圆也无所谓了，最后得图

由于外圈的行星轨道又长速度又慢，而内层的刚好相反，所以这个图很难兼顾，观感上也不太好看。

如果只画出木星之前的星体，顺便加上小行星带，可能会好一些。

通过这个图就能看出来，有一颗小行星被木星弹了过来，直冲冲地向地球赶来，幸好又被太阳弹了出去，可见小行星还是挺危险的，好在这只是个假想图。