阿基米德螺旋线原理及代码 |
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阿基米德螺旋线原理及代码
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一个点在射线上匀速向外运动，同时射线以w的速度转动，点的轨迹就被称为阿基米德螺旋线或等速螺线。 1.公式阿基米德螺旋线的极坐标公式可以表示为： r = a + b ∗ θ r = a+b*\theta r=a+b∗θ 其中a为起始点与极坐标中心的距离，主要负责旋转整个螺线（增加a顺时针旋转和距离中心的远近）； b为控制螺线间的螺距， b = r θ b = \dfrac{r}{\theta} b=θr,b越大变化越快，螺线相同角度下半径r增长越快，越稀疏； θ \theta θ的范围控制了螺线的大小， θ \theta θ越大螺线的范围越大。 在直角坐标系下，利用极坐标系到直角坐标的公式，其公式可以被改写为： x = r ∗ c o s θ y = r ∗ s i n θ x = r*cos\theta\\ y = r*sin\theta x=r∗cosθy=r∗sinθ x = ( a + b ∗ θ ) ∗ c o s θ y = ( a + b ∗ θ ) ∗ s i n θ x = (a+b*\theta)*cos\theta\\ y = (a+b*\theta)*sin\theta x=(a+b∗θ)∗cosθy=(a+b∗θ)∗sinθ 此外还可以利用角速度和线速度的概念来控制螺线的形状，生成其他螺旋线： x = v t ∗ c o s ( w t ) y = v t ∗ c o s ( w t ) x = vt*cos(wt)\\ y = vt*cos(wt) x=vt∗cos(wt)y=vt∗cos(wt) 上式为关于t的参数方程，其中v为线速度、w为角速度，t为点运动的时间。可以通过上式子得到等角速度、等线速度等各类螺旋 2.程序首先我们来画出极坐标系下的阿基米德螺线。 #变化a参数 theta = 0:0.01*pi:6*pi; r1 = 0 + 0.1*theta; r2 = 1 + 0.1*theta; r3 = 2 + 0.1*theta; polar(theta,r3,'b');hold on; polar(theta,r2,'g') polar(theta,r1,'r') legend('a=0,b=0.1','a=10,b=0.1','a=20,b=0.1') #变化b参数，右图 theta = 0:0.01*pi:20*pi; r4 = 1 + 0.05*theta; r5 = 1 + 0.1*theta; r6 = 1 + 0.2*theta; polar(theta,r6,'b');hold on; polar(theta,r5,'g') polar(theta,r4,'r') legend('a=1,b=0.2','a=1,b=0.1','a=1,b=0.05')
随后在直角坐标系中画出螺线： theta = 0:0.01*pi:20*pi; r7 = 0 + 0.01*theta; x = r7.*cos(theta); y = r7.*sin(theta); %初始点是0，螺距为0.01 %在直角坐标系下b控制着螺线间距，b越大螺线间距越大 plot(x,y,'r') hold on; r8 = 0 + 0.03*theta; x = r8.*cos(theta); y = r8.*sin(theta); plot(x,y,'g') r9 = 0 + 0.09*theta; x = r9.*cos(theta); y = r9.*sin(theta); plot(x,y,'b') legend('b=0.01','b=0.03','b=0.05')
另外可以通过引入速度的概念控制螺线的形状： t = 0:0.01:100; v = 10; %线速度控制了大小，越大走得越快螺线形状越大 w = 3 ; %角速度控制了疏密，越小越稀疏，单位时间内旋转少。 x = v*t.*cos(w*t); y = v*t.*sin(w*t); subplot(2,2,1); plot(x,y) title('v=10,w=3') axis([-1000 1000 -1000 1000]) v = 1; %线速度变小，图形变小 w = 3 ; x = v*t.*cos(w*t); y = v*t.*sin(w*t); subplot(2,2,2) plot(x,y) title('v=1,w=3') axis([-1000 1000 -1000 1000]) v = 10; w = 0.3 ; %角速度变小，图形变疏 x = v*t.*cos(w*t); y = v*t.*sin(w*t); subplot(2,2,3) plot(x,y) title('v=10,w=0.3') axis([-1000 1000 -1000 1000]) v = 10; %变大 w = 10 ; %变密 x = v*t.*cos(w*t); y = v*t.*sin(w*t); subplot(2,2,4) plot(x,y) title('v=10,w=10') axis([-1000 1000 -1000 1000])
或者将w变化或者v变化： %向外渐开线 t = 0:0.01:100; v = 0:0.001:10; %线速度逐渐加快 w = 1 ; % x = v.*t.*cos(w*t); y = v.*t.*sin(w*t); plot(x,y) %渐密线 t = 0:0.01:100; v = 0.1; w = 0:0.0001:1; ; %角速度逐渐加大变密. tips：一定要注意区分坐标系，以及角速度与b的关系 x = v.*t.*cos(w.*t); y = v.*t.*sin(w.*t); plot(x,y)
ref https://baike.baidu.com/item/阿基米德螺线/6174118?fr=aladdin http://muchong.com/html/201106/3290808.html https://blog.csdn.net/menghuanxiy/article/details/81348393 http://blog.sina.cn/dpool/blog/s/blog_62c180b20102wx3n.html |
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