对称性定理 :

原问题 和 对偶问题 互为对偶 ;

对偶问题是对称的

原问题 L P LP LP :

m a x Z = C X s . t { A X ≤ b X ≥ 0 \begin{array}{lcl} maxZ = C X \\\\ s.t\begin{cases} AX \leq b \\\\ X \geq 0 \end{cases}\end{array} maxZ=CXs.t⎩⎪⎨⎪⎧​AX≤bX≥0​​

对偶问题 D P DP DP :

m i n W = b T Y s . t { A T Y ≥ C T Y ≥ 0 \begin{array}{lcl} minW = b^T Y \\\\ s.t\begin{cases} A^TY \geq C^T \\\\ Y \geq 0 \end{cases}\end{array} minW=bTYs.t⎩⎪⎨⎪⎧​ATY≥CTY≥0​​

弱对偶定理 :

假设 X 0 \rm X^0 X0 和 Y 0 \rm Y^0 Y0 分别是 问题 ( P ) \rm (P) (P) ( 目标函数求最大值 ) 和 问题 ( D ) \rm (D) (D) ( 目标函数求最小值 ) 的 可行解 , 则必有 C X 0 ≤ Y 0 b \rm CX^0 \leq Y^0 b CX0≤Y0b ,

展开后为 ∑ j = 1 n c j x j ≤ ∑ i = 1 m y i b i \rm \sum_{j = 1}^n c_j x_j \leq \sum_{i = 1}^{m} y_i b_i ∑j=1n​cj​xj​≤∑i=1m​yi​bi​

弱对偶定理推论 1 :

原问题 任何一个 可行解 的目标函数值 , 都是其对偶问题 目标函数值的下界 ;

反之 ,

对偶问题 任何一个 可行解 的目标函数值 , 都是其原问题 目标函数的上界 ;

弱对偶定理推论 2 : ( 对偶问题的无界性 )

在一对 对偶问题 ( P ) \rm (P) (P) 和 ( D ) \rm (D) (D) 中 ,

如果其中 一个线性规划问题可行 , 但是 目标函数无界 , 则 另外一个问题没有可行解 ;

如果其中 一个线性规划问题不可行 , 其 对偶问题不一定不可行 ;

弱对偶定理推论 3 :

在一对 对偶问题 ( P ) \rm (P) (P) 和 ( D ) \rm (D) (D) 中 ,

如果其中 一个线性规划问题可行 , 而 另一个线性规划问题不可行 , 则 该可行问题的目标函数是无界的;

最优性定理 :

如果 X 0 \rm X^0 X0 是 原问题的可行解 , Y 0 \rm Y^0 Y0 是 对偶问题的可行解 ,

并且 两个可行解对应的目标函数值相等 , 即 C X 0 = B Y 0 \rm CX^0 = BY^0 CX0=BY0 , 即 z = w \rm z = w z=w ,

则 X 0 \rm X^0 X0 是原问题的最优解 , Y 0 \rm Y^0 Y0 是对偶问题的最优解 ;

强对偶性 : 如果 原问题 与 对偶问题 都有可行解 , 只要有一个问题有最优解 , 则 两个问题都有最优解 , 二者的最优解的目标函数值相等 ;

X 0 \rm X^0 X0 和 Y 0 \rm Y^0 Y0 分别是 原问题 P \rm P P 问题 和 对偶问题 D \rm D D 的 可行解 ,

这两个解各自都是对应 线性规划问题 的 最优解

的 充要条件是 : { Y 0 X s = 0 Y s X 0 = 0 \begin{cases} \rm Y^0 X_s = 0 \\\\ \rm Y_sX^0 = 0 \end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧​Y0Xs​=0Ys​X0=0​

其中 X s , Y s \rm X_s , Y_s Xs​,Ys​ 是 松弛变量 或 剩余变量 ;

互补松弛定理简写 :

" X 0 \rm X^0 X0 和 Y 0 \rm Y^0 Y0 分别是 原问题 P \rm P P 问题 和 对偶问题 D \rm D D 的 最优解 " ⇔ \Leftrightarrow ⇔ { Y 0 X s = 0 Y s X 0 = 0 \begin{cases} \rm Y^0 X_s = 0 \\\\ \rm Y_sX^0 = 0 \end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧​Y0Xs​=0Ys​X0=0​

其中 X s , Y s \rm X_s , Y_s Xs​,Ys​ 是 松弛变量 或 剩余变量 ;

原问题与对偶问题对应关系 :

如果 原问题 有最优解 , 对偶问题也 有最优解 ;

如果 原问题 有 无界解 , 对偶问题 无可行解 ;

如果 原问题 无可行解 , 对偶问题 无法判断 ;

上述是根据弱对偶定理总结的 ;

任何 线性规划问题 , 都有一个对应的 对偶线性规划问题 ;

原问题 P \rm P P : m a x Z = C X s . t { A X ≤ b X ≥ 0 \begin{array}{lcl} \rm maxZ = C X \\\\ \rm s.t\begin{cases} \rm AX \leq b \\\\ \rm X \geq 0 \end{cases}\end{array} maxZ=CXs.t⎩⎪⎨⎪⎧​AX≤bX≥0​​ ;              \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \,            对偶问题 D \rm D D : m i n W = b T Y s . t { A T Y ≥ C T Y ≥ 0 \begin{array}{lcl} \rm minW = b^T Y \\\\ \rm s.t\begin{cases} \rm A^TY \geq C^T \\\\ \rm Y \geq 0 \end{cases}\end{array} minW=bTYs.t⎩⎪⎨⎪⎧​ATY≥CTY≥0​​

原问题与对偶问题对应关系 :

原问题第 i i i 个约束条件是 ≤ \leq ≤ 约束 , 其对偶问题的第 i i i 个变量的符号不确定 , 可能大于等于 0 0 0 , 也可能小于等于 0 0 0 ;

查看 约束变量的符号 与 其另外一个对偶问题的 约束方程的符号 一致性 , 来确定对偶问题的约束方程符号 ;

约束方程符号 :

如果当前线性规划问题 目标函数是求最大值 , 原问题就是上面的问题 , 其对偶问题 ( 下面的 ) 的约束方程符号是 ≥ \geq ≥ , 因此 对偶问题的约束方程符号 与 原问题变量 符号一致 ;

如果当前线性规划问题 目标函数是求最小值 , 原问题就是下面的问题 , 其对偶问题 ( 上面的 ) 的约束方程符号是 ≤ \leq ≤ , 因此 对偶问题的约束方程符号 与 原问题变量 符号相反 ;

变量符号 :

如果当前线性规划问题 目标函数是求最大值 , 原问题就是上面的问题 , 其对偶问题 ( 下面的 ) 的约束方程符号是 ≥ \geq ≥ , 因此 对偶问题的变量符号 与 原问题约束方程符号 符号相反 ;

如果当前线性规划问题 目标函数是求最大值 , 原问题就是上面的问题 , 其对偶问题 ( 下面的 ) 的约束方程符号是 ≥ \geq ≥ , 因此 对偶问题的变量符号 与 原问题约束方程符号 符号一致 ;

① 互为对偶的两个问题 , 或者同时都有最优解 , 或者同时都没有最优解 ;

② 对偶问题 有可行解 , 原问题 不一定有可行解 , 因为对偶问题的可行解可能是 无界解 , 原问题可能 无可行解 ;

③ 原问题有 多重解 , 对偶问题 可能有多重解 , 也 可能有唯一解 ; 多重解是 有无穷多最优解 ;

④ 对偶问题 有可行解 , 原问题 无可行解 , 则对偶问题 有无界解 ; 一对问题中 , 一个有可行解 , 一个无可行解 , 则有可行解的是无界解 ;

⑤ 原问题 没有最优解 , 对偶问题无法判断 ; 没有最优解有两种情况 , 一种是 无界解 , 一种是 无可行解 ; 如果原问题有无界解 , 则对偶问题无可行解 ; 如果原问题无可行解 , 则对偶问题无可行解 ;

⑥ 如果对偶问题没有可行解 , 对偶问题无法判断 , 无界解 或 无可行解 两种情况都有可能 ;

⑦ 如果原问题与对偶问题 都有可行解 , 则 都有最优解 ;

如果 原问题 有最优解 , 对偶问题也 有最优解 ;

如果 原问题 有 无界解 , 对偶问题 无可行解 ;

如果 原问题 无可行解 , 对偶问题 无法判断 ;

如果 X 0 \rm X^0 X0 和 Y 0 \rm Y^0 Y0 分别是原问题与对偶问题的最优解 , 则 Y 0 X s = Y s X 0 = 0 \rm Y^0 X_s = Y_sX^0 = 0 Y0Xs​=Ys​X0=0 ;

" X 0 \rm X^0 X0 和 Y 0 \rm Y^0 Y0 分别是 原问题 P \rm P P 问题 和 对偶问题 D \rm D D 的 最优解 " ⇔ \Leftrightarrow ⇔ { Y 0 X s = 0 Y s X 0 = 0 \begin{cases} \rm Y^0 X_s = 0 \\\\ \rm Y_sX^0 = 0 \end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧​Y0Xs​=0Ys​X0=0​

其中 X s , Y s \rm X_s , Y_s Xs​,Ys​ 是 松弛变量 或 剩余变量 ;