椭圆和直线、圆一样，是图形学领域中的一种常见图元，椭圆的生成算法（光栅转换算法）也是图形学软件中最常见的生成算法之一。在平面解析几何中，椭圆的方程可以描述为(x – x0)2 / a2+ (y – y0)2 / b2 = 1，其中(x0, y0)是圆心坐标，a和b是椭圆的长短轴，特别的，当(x0, y0)就是坐标中心点时，椭圆方程可以简化为x2 / a2 + y2 / b2 = 1。在计算机图形学中，椭圆图形也存在在点阵输出设备上显示或输出的问题，因此也需要一套光栅扫描转换算法。为了简化，我们先考虑圆心在原点的椭圆的生成，对于中心不是原点的椭圆，可以通过坐标的平移变换获得相应位置的椭圆。

        在进行扫描转换之前，需要了解一下椭圆的对称性，如图（1）所示：

图（1）椭圆的对称性

中心在原点。焦点在坐标轴上的标准椭圆具有X轴对称、Y轴对称和原点对称特性，已知椭圆上第一象限的P点坐标是(x, y)，则椭圆在另外三个象限的对称点分别是(x, -y)、(-x, y)和(-x, -y)。因此，只要画出第一象限的四分之一椭圆，就可以利用这三个对称性得到整个椭圆。

        在光栅设备上输出椭圆有很多种方法，可以根据直角平面坐标方程直接求解点坐标，yekeyii利用极坐标方程求解，但是因为涉及到浮点数取整，效果都不好，一般都不使用直接求解的方式。本文就介绍几种计算机图形学中两种比较常用的椭圆生成方法：中点画椭圆算法和Bresenham椭圆生成算法。

1、  中点画椭圆法

        中点在坐标原点，焦点在坐标轴上（轴对齐）的椭圆的平面集合方程是：

x2 / a2 + y2 / b2 = 1，也可以转化为如下非参数化方程形式：

F(x, y) = b2x2 + a2y2 - a2b2 = 0                  （方程 1）

无论是中点画线算法、中点画圆算法还是本节要介绍的中点画椭圆算法，对选择x方向像素Δ增量还是y方向像素Δ增量都是很敏感的。举个例子，如果某段圆弧上，x方向上增量+1个像素时，y方向上的增量如果 < 1，则比较适合用中点算法，如果y方向上的增量 > 1，就会产生一些跳跃的点，最后生成的光栅位图圆弧会有一些突变的点，看起来好像不在圆弧上。因此，对于中点画圆弧算法，要区分出椭圆弧上哪段Δx增量变化显著，哪段Δy增量变化显著，然后区别对待。由于椭圆的对称性，我们只考虑第一象限的椭圆圆弧，如图（2）所示：

图（2）第一象限椭圆弧示意图

定义椭圆弧上某点的切线法向量N如下：

对方程1分别求x偏导和y偏导，最后得到椭圆弧上(x,y)点处的法向量是（2b2x, 2a2y）。dy/dx = -1的点是椭圆弧上的分界点。此点之上的部分（橙褐色部分）椭圆弧法向量的y分量比较大，即：2b2(x + 1) < 2a2(y – 0.5)；此点之下的部分（蓝紫色部分）椭圆弧法向量的x分量比较大，即：2b2(x + 1) > 2a2(y – 0.5)。

        对于图（2）中橙褐色标识的上部区域，y方向每变化1个单位，x方向变化大于一个单位，因此中点算法需要沿着x方向步进画点，x每次增量加1，求y的值。同理，对于图（2）中蓝紫色标识的下部区域，中点算法沿着y方向反向步进，y每次减1，求x的值。先来讨论上部区域椭圆弧的生成，如图（3）所示：

图（3）中点画椭圆算法对上部区域处理示意图

假设当前位置是P(xi, yi)，则下一个可能的点就是P点右边的P1(xi+1, yi)点或右下方的P2(xi+1, yi-1)点，取舍的方法取决于判别式di，di的定义如下：

di = F(xi+1, yi-0.5) = b2(xi+1)2 + a2(yi-0.5)2 – a2b2

若di < 0，表示像素点P1和P2的中点在椭圆内，这时可取P1为下一个像素点。此时xi+1 = xi + 1，yi+1 = yi，代入判别式