*§12-9  电磁场的能量和动量

    一、电磁场的能量密度和能流密度

    电磁波作为物质的一种特殊形态，必定遵从能量守恒定律这一自然界一切物质运动过程普遍遵从的规律。在这一节里我们将根据能量守恒定律来探讨电磁场的能量密度和能流密度。

    我们来考虑一个由带电体和电磁场组成的体积为t、边界面积为S 的封闭系统。在系统中，电磁场要对带电体作功，作功的结果将使系统的电磁能减少。由于磁场对带电体的作用力总是与带电体位移方向相垂直, 故磁场对带电体不作功，所以电磁场对带电体所作的功就是其中的电场对带电体所作的功。若系统内电荷的分布为r ，电荷元r dt 在电场E的作用下作位移dl，则电磁场对电荷元所作的元功为

              ,

其中v是电荷元的运动速度，j0是与该运动相对应的电流密度。于是，场在单位时间内对带电体所作的总功为

                        ,                    (12-88)

积分在整个系统体积t 内进行。

    由麦克斯韦方程组的式(12-86)解出其中的电流密度j0，得

                       ,

上式与E的标积

                   .              (12-89)

利用矢量分析公式

               ,

将麦克斯韦方程组的式(12-61)代入上式，得

                 .          (12-90)

将式(12-90)代入式(12-89)，得

                .        (12-91)

令

                      ,               (12-92)

将式(12-92)代入式(12-91)，于是单位时间内电磁场对带电体所作的总功可以表示为

            ,

或者

            ,      (12-93)

式(12-93)应该是能量守恒的表达式，为了看清各项的物理意义，让我们设想将系统的边界扩展到无限远处。这时，由于电荷和电流分布在有限空间内，无限远处的电磁场应等于零，所以上式右边第一项所表示的面积分必定等于零，于是上式成为下面的形式

                      .               (12-94)

正如一开始我们曾说过的那样，电磁场对带电体作功必定使系统的电磁场能减少，所以我们可以断定式中的w必定代表了系统的电磁场能量的分布，即电磁场的能量密度。弄清了w的物理意义，让我们再回到式(12-93)。显然式中右边第一项是通过系统的边界面流进系统的电磁场能量，该项前的负号是由于取边界面的外法线为正法线所致。这样，式(12-93)的物理意义可以表述为：由外界流入系统的电磁能，除了用于对系统内的带电体作功外，还会使系统的电磁能增加。

    我们的最终目的是要从式(12-93)中得出电磁场的能流密度和电磁场的能量密度的表达式。由式(12-93)的右边第一项可以得到，单位时间内通过边界面单位面积流动的电磁能，即能流密度矢量，或称坡印亭(J.H.Poynting, 1852-1914)矢量，为

                           S = E ´ H .                          (12-95)

我们已经知道，电磁波中的电矢量E和磁矢量H与波的传播方向k构成右旋系, 式(12-95)表示S与电矢量E和磁矢量H也构成右旋系, 所以, S与k同方向。这就是说，电磁场能量总是伴随着电磁波向前传播的。

    式(12-95)所表示的是电磁波的瞬时能流密度，在实际问题中常用其在一个周期内的平均值，即平均能流密度，也称波的强度。对于简谐平面波，平均能流密度可以表示为

                         ,                      (12-96)

式中E0和H0分别是电磁波的电矢量和磁矢量的峰值。

    最后让我们看一下系统的电磁场能量密度w的具体形式。如果系统内充满各向同性的线性介质，则有D = eE, B = mH, 仍然不考虑介质的色散特性，将这些关系代入式(12-92)，得

所以，系统的电磁场能量密度为

              ,          (12-97)

这与以前得到的电场能量密度和磁场能量密度的表示式是一致的。将E与H的比例关系代入上式，可得

                        w = e E 2  = m H2 .                 (12-98)  

电磁场在一个周期内的平均值，称为平均能量密度，对于平面简谐波可以表示为

                       .                (12-99)