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方向导数
在等位面上,我们发现虽然可以直观的看出很多东西,但是很多东西我们还是需要定量化 所以我们引入了方向导数,我们可以直观地写出表达式 我们不难发现可以拆成两个向量的点积 一个由自身决定,同时也是方向导数最大的方向对应的大小 另一个对应单位的方向向量 两个对应相乘,就为方向导数 一点思考:因为等值面切线方向对增量没有影响,所以我们可以发现投影到切线方向没有作用,所以就可以简单的推出沿着等值面法向的方向导数最大 下面我们引入哈密尔顿算子 算子表现出矢量性和微分性,先表现矢量性,再表现微分性
向外发散可以看作有正源,向内发射看作曲面内有负源 我们对这样的公式取极限,可以得到散度 当结果大于0的时候,可以看作从这个点向外发射电磁场 结果等于0的时候,可以看作这个点被场线光滑穿过 当结果小于0的时候,可以看作有场线在这一点结束 旋度的定义方式,可以看一下方向导数 首先定义环量 我们再定义单位面积的环量 因为同一点的单位面积环量因为你在不同平面,所以会有不同的值,所以需要再乘以一个单位向量 可以看作是旋度在不同平面上的投影,我们取法线重合的平面 得到 这个也就是旋度的定义 关于旋度的理解也可以参考这两个博客 https://baijiahao.baidu.com/s?id=1659021385604307347 https://zhuanlan.zhihu.com/p/477261640 几个很重要的公式微分算子的公式换成哈密尔顿算子仍然是近似成立的 有用的公式:
拉普拉斯算子
要唯一的确定一个区域内的矢量 1.散度 2.旋度 3.边界条件 反之依然成立 |
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