基本磁场计算公式的简单推导 |
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对于导线周围的磁场分布,可以从比奥-萨伐尔(Biot-Savart)定理出发,推导出任意电流导线、或者导体周围的磁感应强度。讨论这个问题主要是为了能够对 电磁炉中的螺旋线圈 周围测磁场进行数值分析研究。 电磁场公式大全 00基础理论毕奥-萨伐尔定理(Biot-Savart Law): 电流元 I d l ⃗ Id\vec l Idl 在空间某点P处产生的磁感应强度 d B ⃗ d\vec B dB 的大小与电流元 I d l ⃗ Id\vec l Idl 的大小成正比,与电流元 I d l ⃗ Id\vec l Idl 所在处到P点的位置矢量和电流元 I d l ⃗ Id\vec l Idl 之间的夹角的正弦成正比,而与电流元 I d l ⃗ Id\vec l Idl 到P点的距离的平方成反比。 d B ⃗ = μ 0 4 π ⋅ I d l ⃗ × r ⃗ r 3 = μ 0 4 π ⋅ I d l ⋅ sin θ r 2 d\vec B = {{\mu _0 } \over {4\pi }} \cdot {{Id\vec l \times \vec r} \over {r^3 }} = {{\mu _0 } \over {4\pi }} \cdot {{Idl \cdot \sin \theta } \over {r^2 }} dB =4πμ0⋅r3Idl ×r =4πμ0⋅r2Idl⋅sinθ B ⃗ = ∫ L μ 0 4 π ⋅ I d l × e ⃗ r r 2 \vec B = \int_L^{} {{{\mu _0 } \over {4\pi }} \cdot {{Idl \times \vec e_r } \over {r^2 }}} B =∫L4πμ0⋅r2Idl×e r 其中 I I I是源电流, L L L是积分路径。 d l dl dl是源电流危险线元素, e ⃗ r \vec e_r e r是电流元到待求场点的单位向量。 μ 0 = 4 π × 1 0 − 7 T m / A \mu _0 = 4\pi \times 10^{ - 7} Tm/A μ0=4π×10−7Tm/A是真空磁导率值。 下面是非常常见到的磁场计算公式推导。如果在一段有限长直线电流旁边P点,距离直线电流直线距离为a,计算P点出的磁感应场强B。 (1) 推导方法1建立如下的坐标系 O x y Oxy Oxy。那么直线上的电流元就是 I d y Idy Idy。那么根据Biot-Savart定理,P点的磁场为: 其中对于: ∫ c b d y ( y 2 + a 2 ) 3 2 \int_c^b {{{dy} \over {\left( {y^2 + a^2 } \right)^{{3 \over 2}} }}} ∫cb(y2+a2)23dy 的积分,使用simpy库函数进行推导。 #!/usr/local/bin/python # -*- coding: gbk -*- #============================================================ # TEST1.PY -- by Dr. ZhuoQing 2020-09-25 # # Note: #============================================================ from headm import * from sympy import symbols,Integral, oo, exp, integrate from sympy import print_latex, sin, sqrt x, y, a= symbols('x, y, a') ixs = integrate(1/(x**2+a**2)/sqrt(x**2+a**2), x) #------------------------------------------------------------ print_latex(ixs) tspec('msg2latex') #------------------------------------------------------------ # END OF FILE : TEST1.PY #============================================================将b,c的值代入上述可以得到: B p = μ 0 I 4 π a ( cos θ 1 − cos θ 2 ) B_p = {{\mu _0 I} \over {4\pi a}}\left( {\cos \theta _1 - \cos \theta _2 } \right) Bp=4πaμ0I(cosθ1−cosθ2) (2) 推导方法2根据: y = − a ⋅ cos θ sin θ y = - a \cdot {{\cos \theta } \over {\sin \theta }} y=−a⋅sinθcosθ 那么对于上式两边同时进行微分: d y = d ( − a cos θ sin θ ) = a sin 2 θ d θ dy = d\left( { - a{{\cos \theta } \over {\sin \theta }}} \right) = {a \over {\sin ^2 \theta }}d\theta dy=d(−asinθcosθ)=sin2θadθ 这其中应用到: d ( cos θ sin θ ) = − ( 1 + cos 2 θ sin 2 θ ) = − 1 sin 2 θ d\left( {{{\cos \theta } \over {\sin \theta }}} \right) = - \left( {1 + {{\cos ^2 \theta } \over {\sin ^2 \theta }}} \right) = {{ - 1} \over {\sin ^2 \theta }} d(sinθcosθ)=−(1+sin2θcos2θ)=sin2θ−1 #!/usr/local/bin/python # -*- coding: gbk -*- #============================================================ # TEST1.PY -- by Dr. ZhuoQing 2020-09-25 # # Note: #============================================================ from headm import * from sympy import symbols,Integral, oo, exp, integrate from sympy import print_latex, sin, cos, sqrt, diff x, y, a= symbols('x, y, a') ixs = diff(cos(x)/sin(x),x) #------------------------------------------------------------ print_latex(ixs) tspec('msg2latex') #------------------------------------------------------------ # END OF FILE : TEST1.PY #============================================================那么,由Biot-Savart定理: d y ⃗ × r ⃗ r 3 = d y ⋅ sin θ r 2 = a sin 2 θ d θ ⋅ sin θ ( a sin θ ) 2 = sin θ d θ a {{d\vec y \times \vec r} \over {r^3 }} = {{dy \cdot \sin \theta } \over {r^2 }} = {{{a \over {\sin ^2 \theta }}d\theta \cdot \sin \theta } \over {\left( {{a \over {\sin \theta }}} \right)^2 }} = {{\sin \theta d\theta } \over a} r3dy ×r =r2dy⋅sinθ=(sinθa)2sin2θadθ⋅sinθ=asinθdθ 最终积分式变为: μ 0 4 π ∫ c b d y ⃗ × r ⃗ r 3 = μ 0 I 4 π a ∫ θ 1 θ 2 sin θ d θ {{\mu _0 } \over {4\pi }}\int_c^b {{{d\vec y \times \vec r} \over {r^3 }}} = {{\mu _0 I} \over {4\pi a}}\int_{\theta _1 }^{\theta _2 } {\sin \theta d\theta } 4πμ0∫cbr3dy ×r =4πaμ0I∫θ1θ2sinθdθ 最终可以得到与上式相同的表达式。 3.圆环的磁场电流元可以表示为: d l = R d θ dl = Rd\theta dl=Rdθ I d l ⃗ × r ⃗ = I ⋅ R d θ ⋅ R Id\vec l \times \vec r = I \cdot Rd\theta \cdot R Idl ×r =I⋅Rdθ⋅R 那么积分: B 0 = μ 0 4 π ∫ 0 2 π I ⋅ R d θ ⋅ R R 3 = μ 0 I 2 R B_0 = {{\mu _0 } \over {4\pi }}\int_0^{2\pi } {{{I \cdot Rd\theta \cdot R} \over {R^3 }}} = {{\mu _0 I} \over {2R}} B0=4πμ0∫02πR3I⋅Rdθ⋅R=2Rμ0I
可以利用在 Laplace数值逆运算的讨论 给出的一些Python语言实现的数值积分来完成求解。 比如利用下面的梯形数值积分来验证一下直线磁场计算数值解。 def trapz(f, a, b, N=50): x = linspace(a, b, N+1) y = f(x) y_right = y[1:] y_left = y[:-1] dx = (b-a) / N T = dx/2 * sum(y_right + y_left) return T 1.对于直线磁场数值求解假设具体的参数为: a = 1 , θ 1 = π 4 , θ 2 = 2 π 3 a = 1,\theta _1 = {\pi \over 4},\theta _2 = {2\pi \over 3} a=1,θ1=4π,θ2=32π I = 1 , μ 0 = 4 π × 1 0 − 7 I = 1,\,\,\mu _0 = 4\pi \times 10^{ - 7} I=1,μ0=4π×10−7 直接根据公式: B = μ 0 I 4 π a ( cos θ 1 − cos θ 2 ) B = {{\mu _0 I} \over {4\pi a}}\left( {\cos \theta _1 - \cos \theta _2 } \right) B=4πaμ0I(cosθ1−cosθ2) 可以得到: B = 1.20711 × 1 0 − 7 B = 1.20711 \times 10^{ - 7} B=1.20711×10−7 利用数据进行求解: c = − a ⋅ c t g ( π 4 ) = − 1 c = - a \cdot ctg\left( {{\pi \over 4}} \right) = - 1 c=−a⋅ctg(4π)=−1 b = − a ⋅ c t g ( 2 π 4 ) = 0.57735 b = - a \cdot ctg\left( {{{2\pi } \over 4}} \right) = 0.57735 b=−a⋅ctg(42π)=0.57735 B = μ 0 ⋅ I 4 π ∫ c b a ( y 2 + a 2 ) 3 2 d y B = {{\mu _0 \cdot I} \over {4\pi }}\int_c^b {{a \over {\left( {y^2 + a^2 } \right)^{{3 \over 2}} }}dy} B=4πμ0⋅I∫cb(y2+a2)23ady #!/usr/local/bin/python # -*- coding: gbk -*- #============================================================ # TEST2.PY -- by Dr. ZhuoQing 2020-09-19 # # Note: #============================================================ from headm import * def trapz(f, a, b, N=50): x = linspace(a, b, N+1) y = f(x) y_right = y[1:] y_left = y[:-1] dx = (b-a) / N T = dx/2 * sum(y_right + y_left) return T def f(x): return 1/(x**2+1)**(3/2) intr = trapz(f, -1, 0.57735, 100) m0=4*pi*10**-7 result = m0*intr/4/pi printf(result) #------------------------------------------------------------ # END OF FILE : TEST2.PY #============================================================经过数值积分结果为: B = 1.207078 × 1 0 − 7 B = 1.207078 \times 10^{ - 7} B=1.207078×10−7 对比上述结果可以看到结果是非常接近的。 ■ 相关文献链接: 拆解电磁炉一款 电磁场公式大全 Laplace数值逆运算的讨论● 相关图表链接: 毕奥-萨伐尔定律有限长直线旁边的磁场圆环磁场 |
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