证明Legendre Polylnomails（勒让德多项式）是Legendre Differential Equation（勒让德微分方程）的解 勒 让 德 微 分 方 程 : ( 1 − x 2 ) d 2 y d x 2 − 2 x d y d x + k ( k + 1 ) y = 0 勒让德微分方程:(1-x^2) \frac{d^2 y}{dx^2}-2x\frac{d y}{dx} + k(k+1)y=0 勒让德微分方程:(1−x2)dx2d2y​−2xdxdy​+k(k+1)y=0 有解 勒 让 德 多 项 式 ： P k ( x ) = ∑ m = 0 k 2 ∣ k − 1 2 ( − 1 ) m ( 2 k − 2 m ) ! m ! ( 2 k ) ( k − m ) ! ( k − 2 m ) ! 勒让德多项式：P_k(x)=\sum_{m=0}^{\frac{k}{2}|\frac{k-1}{2}} \frac{(-1)^m(2k-2m)!}{m!(2^k)(k-m)!(k-2m)!} 勒让德多项式：Pk​(x)=m=0∑2k​∣2k−1​​m!(2k)(k−m)!(k−2m)!(−1)m(2k−2m)!​

证明：首先我们变换一下微分方程。检查 2 x ( 1 − x 2 ) \frac{2x}{(1-x^2)} (1−x2)2x​，和 k ( k + 1 ) ( 1 − x 2 ) \frac{k(k+1)}{(1-x^2)} (1−x2)k(k+1)​ 满足是用幂级数（Power Series）的方法。

d 2 y d x 2 − 2 x ( 1 − x 2 ) d y d x + k ( k + 1 ) ( 1 − x 2 ) y = 0 \frac{d^2 y}{dx^2}-\frac{2x}{(1-x^2)}\frac{d y}{dx} + \frac{k(k+1)}{(1-x^2)}y=0 dx2d2y​−(1−x2)2x​dxdy​+(1−x2)k(k+1)​y=0 我们可以套用幂级数（Power Series）的方法求解微分方程。 y ( x ) = ∑ n = 0 ∞ a n x n y(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n y(x)=n=0∑∞​an​xn一阶微分 y ′ ( x ) = ∑ n = 0 ∞ n a n x n − 1 y^{'}(x) = \sum_{n=0}^{\infty} n a_n x^{n-1} y′(x)=n=0∑∞​nan​xn−1二阶微分 y ′ ′ ( x ) = ∑ n = 0 ∞ n ( n − 1 ) a n x n − 2 y^{''}(x) = \sum_{n=0}^{\infty} n(n-1) a_n x^{n-2} y′′(x)=n=0∑∞​n(n−1)an​xn−2 把 y ( x ) y^{}(x) y(x)， y ′ ( x ) y^{'}(x) y′(x)和 y ′ ′ ( x ) y^{''}(x) y′′(x)带入微分方程中，化简可得。 ( 1 − x 2 ) ∑ n = 0 ∞ n ( n − 1 ) a n x n − 2 − 2 x ∑ n = 0 ∞ n a n x n − 1 + k ( k + 1 ) ∑ n = 0 ∞ a n x n = 0 ∑ n = 0 ∞ n ( n − 1 ) a n x n − 2 − x 2 ∑ n = 0 ∞ n ( n − 1 ) a n x n − 2 − 2 x ∑ n = 0 ∞ n a n x n − 1 + k ( k + 1 ) ∑ n = 0 ∞ a n x n = 0 ∑ n = 0 ∞ n ( n − 1 ) a n x n − 2 − ∑ n = 0 ∞ n ( n − 1 ) a n x n − 2 ∑ n = 0 ∞ n a n x n + k ( k + 1 ) ∑ n = 0 ∞ a n x n = 0 \begin{aligned} (1-x^2) \sum_{n=0}^{\infty} n(n-1) a_n x^{n-2}-2x \sum_{n=0}^{\infty} n a_n x^{n-1}+k(k+1)\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n&=0 \\ \sum_{n=0}^{\infty} n(n-1) a_n x^{n-2}-x^2 \sum_{n=0}^{\infty} n(n-1) a_n x^{n-2}-2x \sum_{n=0}^{\infty} n a_n x^{n-1}+k(k+1)\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n&=0 \\ \sum_{n=0}^{\infty} n(n-1) a_n x^{n-2}- \sum_{n=0}^{\infty} n(n-1) a_n x^{n }-2 \sum_{n=0}^{\infty} n a_n x^{n}+k(k+1)\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n&=0 \end{aligned} (1−x2)n=0∑∞​n(n−1)an​xn−2−2xn=0∑∞​nan​xn−1+k(k+1)n=0∑∞​an