秦九韶算法求多项式某一点处的值或导数 |
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设法减少算法中乘法或加法的数量，是提升算法性能的方法之一。秦九韶算法就是其中的范例。 设给定多项式 p(x)=a0xn+a1xn−1+⋯+an−1x+an(1) (1) p ( x ) = a 0 x n + a 1 x n − 1 + ⋯ + a n − 1 x + a n 求 x∗ x ∗ 处的函数值 p(x∗) p ( x ∗ )我们采用以下方法： p(x)=(⋯(a0x+a1)x+⋯+an−1)x+an p ( x ) = ( ⋯ ( a 0 x + a 1 ) x + ⋯ + a n − 1 ) x + a n 它可以表示为 {b0=a0bi=bi−1x∗+ai,i=1,2,⋯,n(2) (2) { b 0 = a 0 b i = b i − 1 x ∗ + a i , i = 1 , 2 , ⋯ , n则 bn=p(x∗) b n = p ( x ∗ ) 为所求。 求多项式 p(x) p ( x ) 在 x∗ x ∗ 处的导数值 p′(x∗) p ′ ( x ∗ )由（2）式得 ai=bi−bi−1x∗ a i = b i − b i − 1 x ∗ ,代入（1）式并化简 p(x)=(x−x∗)(b0⋅xn−1+⋯+bn−2⋅x+bn−1)+bn p ( x ) = ( x − x ∗ ) ( b 0 ⋅ x n − 1 + ⋯ + b n − 2 ⋅ x + b n − 1 ) + b n 记 q(x)=b0⋅xn−1+⋯+bn−2⋅x+bn−1 q ( x ) = b 0 ⋅ x n − 1 + ⋯ + b n − 2 ⋅ x + b n − 1 ,则有 p(x)=(x−x∗)q(x)+p(x∗) p ( x ) = ( x − x ∗ ) q ( x ) + p ( x ∗ ) 这个实际上是 余数定理的结论 对上式求导 p′(x)=q(x)+(x−x∗)q′(x) p ′ ( x ) = q ( x ) + ( x − x ∗ ) q ′ ( x ) 代入 x=x∗ x = x ∗ 得 p′(x∗)=q(x∗) p ′ ( x ∗ ) = q ( x ∗ ) |
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