不动点迭代法（Fixed Point Iteration）迭代求根的python程序 |
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不动点迭代法（Fixed Point Iteration）迭代求根的python程序
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迭代法的作用
许多复杂的求解问题，都可以转换成方程f(x)=0的求解问题。这一系列的解叫做方程的根。对于非线性方程的求解，在自变量范围内往往有多个解，我们将此变化区域分为多个小的子区间，对每个区间进行分别求解。我们在求解过程中，选取一个近似值或者近似区间，然后运用迭代方法逐步逼近真实解。 方程求根的常用迭代法有：二分法、不动点迭代、牛顿法、弦截法。 不动点迭代法简单迭代法或基本迭代法又称不动点迭代法 1、不动点（FixedPoint） 首先来看一下什么是不动点： 求方程式：x3 - 0.165 × x2 + 3.993 × 10-4 = 0在（0，0.11）上的根 先看看不用迭代法计算的结果 from sympy import * from sympy.abc import x def func(x): return x**3 - 0.165*x**2 + 3.993*10**(-4) result = solveset(func(x), x, Interval(0, 0.11)) print(result)结果： FiniteSet(0.0623775815137495) 约定一个误差，当误差小于某个数值的时候，迭代停止代码： xl = 0 #区间下限 xu = 0.11 #区间上限 x = (xl+xu)/2 #迭代初始值 x_list = [x] i = 0 while True: x = x ** 3 - 0.165 * x ** 2 + 3.993 * 10 ** (-4) + x x_list.append(x) if len(x_list) > 1: i += 1 error = abs((x_list[-1] - x_list[-2]) / x_list[-1]) if error |
换句话说，函数φ的不动点是y=φ(x)与y=x的交点，下图画出了函数y=cos(x)与y=x在区间[0,π/2]的交点，即cos(x)的不动点： 
2、不动点迭代（Fixed Point Iteration） 不动点迭代的基本思想： 
也就是说，为了求解方程f(x)=0，首先将方程转换为x=g(x)，然后初始化x0，循环迭代xi+1=g(xi)，直到满足收敛收件。 这里将方程f(x)=0转换为x=g(x)是很容易的，比如对于f(x)=x-cos(x)，求解f(x)=0即为求解x-cos(x)=0，即x=cos(x)，因此g(x)=cos(x)。 再例如对于方程： 
可以等价为 
还可以等价为 
也就是说，将方程f(x)=0转换为x=g(x)有不同的方式，因此对方程f(x)=0来说，g(x)也不是唯一的。 3、不动点迭代的收敛性 这个迭代过程是很简单的，但这里有个关键性的问题：迭代收敛么？即经过N次迭代后是否会收敛于不动点？ 
通俗点讲，若要使不动点迭代收敛，则要求φ(x)在区间[a,b]上的函数值也在此区间内，另外还要求φ(x)的斜率绝对值不大于1。其证明过程比较复杂，有兴趣的可以查阅一些相关文献。【本文地址】