生存分析第二课:Kaplan

2024-06-02 13:53| 来源: 网络整理| 查看: 265

Kaplan-Meier estimate of S ( t ) S(t) S(t) 导言

生存函数 S ( t ) S(t) S(t)是个体至少生存到时刻 t t t的概率。对 S ( t ) S(t) S(t)的估计可以通过参数视角,也可以通过非参数视角. 参数视角估计 S ( t ) S(t) S(t):先假设一个生存时间 T T T服从的分布,然后根据样本数据估计出未知参数,最后可估计出 S ( t ) = 1 − F ( t ) S(t)=1-F(t) S(t)=1−F(t). 参数视角估计 S ( t ) S(t) S(t)的优点: 模型明确,即使数据量很少也能识别出模型等。参数视角估计 S ( t ) S(t) S(t)的缺点: 如果最初假设的那个模型就是错的，那么后续的估计与分析就是徒劳的！非参数视角估计 S ( t ) S(t) S(t): 即使我们没有识别出生存时间 T T T的分布,也可以进行估计. 非参数视角估计 S ( t ) S(t) S(t)的优点: 适用性强,不需要事先假设出明确的模型,出"大错"的概率小。非参数视角估计 S ( t ) S(t) S(t)的缺点: 所需样本量较大,样本量小时效果不好,不如参数模型明确.

引例: leukæmia(白血病)

将42名青年分配到实验组和对照组，实验组接受 6-Mercaptopurine (6-巯基嘌呤)的处理,对照组接受 placebo(安慰剂)的处理. 实验结果如下:

6-MP 6, 6, 6, 7, 10, 13, 16, 22, 23, 6+, 9+, 10+, 11+, 17+, 19+,20+, 25+, 32+, 32+, 34+, 35+ Placebo 1, 1, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 5, 8, 8, 8, 8, 11, 11, 12, 12, 15, 17, 22, 23 注数字后面的 + 号表示至少活到这个时刻,只是因为某些原因没有继续被观察到从而删失了

问题1: 安慰剂组的个体活到以下时刻的比例是多少?

time 0.0? — 100% time 0.9? — 100% time 1.0? — 100% time 1.1? — 19/21*100≈90.48% time 2.0? — ≈90.48%

总结:如果没有删失情况的存在,那么 S ^ \hat{S} S^(t)就是一个阶梯函数,每个时间点都对应着一个生存比例。

但是如果像实验组那样存在删失情形该怎么办呢?

Kaplan-Meier’s method

符号引入: d ( t ) d(t) d(t): 时刻 t t t 死亡或失败的个体数; q ( t ) q(t) q(t): 时刻 t t t 右删失的数目; n ( t − ) n(t^-) n(t−) :时刻 t t t左侧一点点时间时处于风险中的个体数

With right-censored data:

公式1— KM estimate of S ( t ) S(t) S(t) is S ^ \hat{S} S^(t)= S ^ \hat{S} S^( t − ) p ^ ( T > t ∣ T ≥ t ) t^-)\hat{p}(T>t|T≥t) t−)p^(T>t∣T≥t) 公式1解读:活过时刻 t t t的概率=活过时刻t前一点点的概率×活过时刻t前一点点为条件并活过时刻 t t t的概率. 其中 p ^ ( T > t ∣ T ≥ t ) = 1 \hat{p}(T>t|T≥t)=1 p^(T>t∣T≥t)=1,如果 t t t时刻没有任何failure事件发生; p ^ ( T > t ∣ T ≥ t ) = n ( t − ) − d ( t ) n ( t − ) \hat{p}(T>t|T≥t)=\frac{n(t^-)-d(t)}{n(t^-)} p^(T>t∣T≥t)=n(t−)n(t−)−d(t),如果 t t t时刻没有任何failure事件发生; 很明显,KM 估计的 S ^ \hat{S} S^(t)= S ^ \hat{S} S^( t − ) p ^ ( T > t ∣ T ≥ t ) t^-)\hat{p}(T>t|T≥t) t−)p^(T>t∣T≥t),对于从时刻 t − t^- t−到时刻 t t t而言，只有当时刻 t t t发生死亡事件, p ^ ( T > t ∣ T ≥ t ) = n ( t − ) − d ( t ) n ( t − ) \hat{p}(T>t|T≥t)=\frac{n(t^-)-d(t)}{n(t^-)} p^(T>t∣T≥t)=n(t−)n(t−)−d(t)才会发生从1变为其他数字, S ^ \hat{S} S^(t)也才会发生改变. 公式2—与KM估计等价的公式: S ^ ( t ) = ∏ t ( i ) ≤ t n ( i − ) − d ( i ) n ( i − ) \hat{S}(t)=\prod_{t_{(i)≤t}}{\frac{n_{(i^-)}-d_{(i)}}{n_{(i^-)}}} S^(t)=∏t(i)≤tn(i−)n(i−)−d(i) 公式2解读: 活过时刻t的概率=同时满足活过之前每一个时刻=活过之前每一个概率的乘积

按照公式,当时间 t t t超过最大观察时间 t 0 t_0 t0时, S ^ ( t ) \hat{S}(t) S^(t)便不再发生形状变化,很有可能还不为0，但这明显与"人都会死""这样的事实相矛盾,这样看来KM 估计似乎不太好，我们该如何处理时间超过最大观察期后的生存函数取值呢?

目前有几种办法处理这种情况:

Efron (1967) 建议将 t > t m a x t>t_{max} t>tmax的 S ^ ( t ) \hat{S}(t) S^(t)一律设置为0； Gill (1980) 建议将 t > t m a x t>t_{max} t>tmax的 S ^ ( t ) \hat{S}(t) S^(t)设置为 S ^ ( t ) = S ^ ( t m a x ) \hat{S}(t)=\hat{S}(t_{max}) S^(t)=S^(tmax) Brown et al.(1974)建议将 t > t m a x t>t_{max} t>tmax的 S ^ ( t ) \hat{S}(t) S^(t)设置为 S ^ ( t ) = e x p { l o g ( S ^ ( t m a x ) ) × t / t m a x } \hat{S}(t)=exp\{log(\hat{S}(t_{max}))×t/t_{max}\} S^(t)=exp{ log(S^(tmax))×t/tmax} 但事实上,最好的处理方法是不对没有任何信息的事情做任何假设,直接在最大观察点停止绘图. Variance of the KM estimate

引言对统计学家来说,会自然的想要知道我们的估计有多大的把握-------置信区间计算置信区间有一个必须要做的事情就是计算统计量的方差,所以这一部分让我们来计算一下KM估计的方差：

推导过程根据公式2: V { S ^ ( t ) } = V { ∏ t ( i ) ≤ t n ( i − ) − d ( i ) n ( i − ) } = V { ∏ t ( i ) ≤ t p ^ ( i ) } V\{\hat{S}(t)\}=V\{\prod_{t_{(i)}≤t}{\frac{n_{(i^-)}-d_{(i)}}{n_{(i^-)}}}\}=V\{\prod_{t_{(i)}≤t}{\hat{p}_{(i)}}\} V{ S^(t)}=V{ t(i)≤t∏n(i−)n(i−)−d(i)}=V{ t(i)≤t∏p^(i)} 根据统计学常识,计算一系列独立随机变量和的方差是容易的,但是计算连乘的方差是非常困难的,所以我们需要利用取对数变乘为加这个技巧进行转换: V { l o g S ^ ( t ) } = V { ∑ t ( i ) ≤ t l o g p ^ ( i ) } = ∑ t ( i ) ≤ t V { l o g p ^ ( i ) } V\{log\hat{S}(t)\}=V\{\sum_{t_{(i)}≤t}{log\hat{p}_{(i)}}\}=\sum_{t_{(i)}≤t}V\{ {log\hat{p}_{(i)}}\}

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