定理 6.1.1 (选择公理,AC). 对于一个由非空集合构成的集族 S, 一个选择函数 f 指的是满足 f(X)∈X,∀X∈S 的函数 f. 那么对于任何一个由非空集合组成的集族, 都存在这样的选择函数.

选择公理与其他 ZF 中的公理是有所不同的, 原因在于其他 ZF 中的公理都是构造性地说明集合存在性, 而选择公理则是非构造性地保证选择函数存在 (回忆: 选择函数本身是个集合).

选择公理的非构造性让人们本能地不喜欢, 于是一些数学家希望能够不用选择公理来做事. 经过亿点点研究, 数学家们发现 AC 与 ZF 是彼此独立的, 有许多数学命题必须要 AC 才能够证明.

在一些简单的情况下, 选择函数的存在性是可以直接通过构造来证明的.

例 6.1.2.

1.

每一个集合 X∈S 都是单元素集.

2.

S 是有限的, 根据数学归纳法可以归纳构造选择函数的存在性.

3.

每个 X∈S 是 R 的有限子集, 可以选择 min 作为选择函数.

注 6.1.3. 有趣的是,(通俗地说), 对于无穷双袜子, 我们没有办法给出一个选择函数, 但是对于无穷双鞋子, 我们可以给出一个选择函数, 即选出左脚的鞋子.

定理 6.1.4 (Zermelo 良序定理). 任何一个集合都可以良序化.

证明. 定理的证明思路是: 既然要证明良序化, 那么就只需要证明和某个序数一一对应, 那我们就利用选择公理 " 一个一个 " 地选.