第二型曲面积分、Gauss公式、Stokes公式

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定义 1. $\vec v(M)$定义在$\mathbb{R}^3$中区域$V$的一个向量场，$S$是$V$中一张光滑的指定了正侧的双侧曲面，$\vec n(M)$为$S$上指向正侧的单位法向量。则积分

\[\iint_S \vec v\cdot d\vec S=\iint_S \vec v\cdot \vec ndS \]

称为向量场$\vec v$在有向曲面$S$上的第二型曲面积分。也就是说，向量场在曲面上的积分是通过数量场$\vec v\cdot\vec n$在曲面上的第一型积分给出的。

当曲面$S$是一个封闭曲面时，称积分为向量场通过封闭曲面的通量，也记为

\[%\mathop{{\int\!\!\!\!\!\int}\mkern-21mu \bigcirc}_S \vec v\cdot d\vec S % \oiint 需要 esint package \oiint_S \vec v\cdot d\vec S \]

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