在我们的小学课本里，教材编写者一直都是通过倒水或者倒沙子的方法给孩子们讲解圆锥和圆柱体积的关系。几十年前我读书的时候是这样，没想到今年的小学课本依旧如此。这样的教学方法，除了让孩子们记住“圆锥体积是等底等高圆柱体积的三分之一”这样一个事实之外，没法教给孩子们任何其他有用的数学知识和思维方式。

当然，很多数学专家也许不会认同，觉得这个年纪的孩子只需要感性地知道是这样子就可以了，探究原理是以后的事情。问题是，我问过不同年级的孩子，从小学高年级到中学生再到大学生和理工科毕业的研究生，几乎没人说得清楚这个问题。

无独有偶，在给低年级孩子讲解奇数和偶数的运算法则时，也遇到了一件让我哭笑不得的事情。当我讲到如何从奇数和偶数的定义去理解奇数偶数运算法则时(比如说：奇数+偶数=奇数)，有位小朋友站起来说：“我们可以把奇数看成是‘坏孩子’，偶数看成是‘好孩子’，‘奇数加偶数等于奇数’就是坏孩子和好孩子在一起，好孩子被坏孩子带坏了，都变成了坏孩子。”我不知道这是哪里看到的比喻，其实我知道类似的记忆口诀或方法有很多，但我个人并不支持这种记忆法。理由很简单，这种口诀或者记忆方法除了让孩子生硬地记住相关公式以外，没法传授给孩子任何有用的知识。试问：奇数和坏孩子有什么关联?偶数和好孩子又有什么关联?可以这么说，两者之间半毛钱关系都没有。如此牵强附会的口诀有多少意义呢?

严格来说，这些都不是数学。真正的数学既不是为了让孩子们背诵数学公式，也不是为了一个答案，而是要学会如何思考问题和解释问题，学会思辨和逻辑推理。但很可惜，我们的数学教育之路严重偏离了教育的本质。说得更加极端一点也许就是，我们的数学课上根本就没有数学!

其实，学习数学公式背后的思想起源和思维方式，远远比背一个公式精彩百倍。这里，我以“如何理解圆锥体积是等底等高圆柱体积的三分之一”为切入点，和读者朋友们交流一下为什么学习数学思维比背公式更加重要这个问题。

在数学问题中，最精彩的证明莫过于不需要证明，把复杂的问题转变不断简化和一般化，我们就能看到数学之美。那么，接下来就请读者朋友们跟着我的思路去探究一下圆锥体积计算公式背后的数学原理和思想。这是一段美妙的思想之旅，千万别走神哈!

我们先看和圆锥体有关联的金字塔形(或者叫做角锥体)的体积，看看它与等底等高的长方体是什么关系。

因为要比较等底等高的长方体，很自然的想法就是把这个椎体放进等底等高的长方体中，看看是什么情况。

这是一个曾经困扰古代数学家们很长时间的问题。后来，有人提出一个有趣而且有启发性的观点：把一个立方体的中心点和八个顶点相连，就可以把这个立方体切成六个完全相同的角锥。如下图所示：

很显然，每一个角锥都是等底等高长方体的三分之一。这是一个伟大的发现或者洞见，也是一个极具美感的证明方式，堪称一件艺术品。但问题来了，这个证明只适合上面这种高恰好是底边二分之一的角锥，大部分的角锥都不符合这样的比例。那怎么才好呢?

其实，任何一种角锥都是上述角锥的特例，只是经过了一定程度的伸缩或者变形而得到的。

伸缩对于角锥体积和等底等高长方体体积的影响是完全同步的，两者都要乘以一个伸缩的倍数。这意味着两者的体积之比将会保持固定不变，任何一个角锥的体积都是等底等高长方体体积的三分之一，永远成立。

那么回头再来看圆锥体的体积。

我们可以把圆锥体看成是一叠圆柱体的累加，如下图所示：

当这些圆柱体的高度不断降低，直至变成圆形薄片的时候，其体积就逼近圆锥体的体积。这是一种“穷尽”的思想，对理解很多数学问题都有很大的帮助。

但是，到目前为止，我们依旧无法确定圆锥体的体积公式如何得到。再次搬出前面我们解释过的角锥体。找一个和圆锥体底面积和高都相同的角锥，放在一起比较。

因为上面的圆锥体和角锥的底面积和高都相等，所以只要证明他们的体积也相等就能说明问题了。要证明这个问题，我们把圆锥体和角锥体同时用穷尽法进行切片。

当圆柱体和长方体的高度同时不断降低直至薄片时，每一个圆柱的体积和对应的长方体的体积都是相等的。也就是说，无论是哪一个高度，圆锥和角锥都有相同面积的截面存在。

因此，我们很容易知道，上面两个图形的体积也是相等的。然后，我们把这两个圆椎和角锥分别放入等底等高的圆柱体和长方体中。因为圆柱体和长方体的底面积相等，高也相等，故体积也必定相等。从而得到，圆锥的体积是等底等高圆柱体的三分之一。

任何一种立体图形都可以用无数薄片堆积而成，或者说逼近。如果两个像这样的立体能够适当地摆放在一起，让它们在任何一个相同的高度都有面积相等的截面，它们的体积必然相等。这就是著名的“卡瓦列里原理(Cavalieri principle)”。这个方法的始创者是古希腊数学家阿基米德(阿基米德就是用这种方法得到了球体的体积计算公式)，但由伽利略的学生卡瓦列里重新发现。这个方法的精妙之处在于，无需计算出体积，而是通过选取合适的对象进行比较来得到体积。

事实上，中国古代著名数学家祖冲之、祖暅父子就提出“缘幂势既同，则积不容异”一说，即“等高处截面面积相等，则二立体的体积相等”，并由此严格推导出球体体积的计算公式。祖氏父子对该原理的发现和运用要比卡瓦列里早一千年。故又被称为“祖暅原理”。

卡瓦列里原理的应用很广泛，最著名的例子就是球体体积的计算公式，其思想的精妙，让人叹为观止!当然，这里暂时不具体展开了，有机会再讲解。

通过这个例子，我们不仅领略了数学中“穷尽”思想的魅力，还学到了“卡瓦列里原理”的原理和应用，这可比倒水或倒沙子有趣百倍。通过这样的学习，我们不仅学会了如何思考，还学会了如何转换角度看同一个问题。这才是数学要学习的东西!

希望我们的数学教育能回顾教育的本质，让更多的孩子喜爱上数学，而不是只会背公式和答案，做毫无思辨能力的考试机器!

圆锥体积公式数学几何原理趣味数学