原标题：狭义相对论中神奇的三角与勾股定理

问道数学|美丽思考

1905年爱因斯坦发表狭义相对论到目前为止已有一百多年，人们对狭义相对论的话题仍然不断，对它研究和探索从没断过，因为时空的相对论燃起了人们对时空旅行的梦想。

时间是多么的宝贵，如果能将时间留住，回到过去修改错误，或未来的人带来高科技成果等等，在许多科幻文章、影视作品中这是经常出现的一个故事背景。这都缘起下面这速度与时间的相对论公式：

按爱因斯坦这个理论，运动能延长时间。如果飞船一旦接近光速飞行时，在飞船上过一天可能相当于地球的一年。

这个公式是如何来的呢？ 狭义相对论最重要的一个依据是光速不变的假设， 就是对任何观测者而言，光的速度是不变的。比方说，你在空中飞行的飞机上测量一个光源发出的光速，和在地面上站着测同一个光源的光速都是一样的。

据此，按洛伦茨变换，推导出了上述时间公式，这个具体推导过程对于普通人来说是相当的繁琐，因此不在这里重复。

这里有个简单的方法就可以推导，就是采用神奇的三角与勾股定理

1、请看下图，相对论时间三角。

相对论时间三角

左边的图是表示一个光子钟，在静止时光来回走过的光程和时间 ；右边是光子钟以速度 向右运动时，斜边是在地面观察者看到的光子钟走过的路程时间是 ， 是光速。

由于光速在任何方向上对观察者不变，所以就构成了右边的直角三角形。根据勾股定理： 所以 整理得：

这就是神奇的狭义相对论时间公式，就这么简单。

2、这个是长度的狭义相对论公式三角示意图：

长度三角

也是可以推导出：

3、再看下面这张图：

能量动能三角

下面是狭义相对论推出运动物体总能量公式， 是动能， 是静态质量。

上面是相对论能量和动量组成的三角，在相对论里的总能量不是简单的动量的能量加上静态的能量，而是服从勾股定理，有没有看明白这个是矢量的加法。

从这个三角看，一个有静态质量的物体具有的动量的能量永远小于物体总能量，所以有静态质量的物质不可能达到光速，只能接近光速。

4、上述这个公式的推导也比较复杂，有没有简单的办法，请看下图质量的三角：

质量的三角

质量的三角是狭义相对论中最神奇的三角，它是运动物体矢量动量的相加三角：

（ ， 从这个公式可以推出，

， 是不是很熟悉？

从这张图可 以看出，物体静止时似乎具有 的动量，也就是说 看似静止的物质可能是光速运动的。

从上面的的质量勾股定理，在方程两边乘上 ，就可以得到:

， 由于 ， ， 所以就得到：

， 这个 相对论总能量公式。是不是很神奇？

看到这结果的小伙伴，你对此有何想法？

END

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