学习材料：《现代控制系统》第3章——状态空间模型

状态变量指的这样一组变量，若状态变量当前的值已知，就可以根据输入和系统输入输出关系得到系统以后的输出和状态变量的取值。

例如：RLC电路中，初始时刻L的电流和C的电压。

对于很多系统而言，状态变量决定系统的初始状态，从数学上来讲就是线性微分方程的初始条件。因而在很多系统中，可以选定输出变量为状态变量。

状态变量的选取不具有唯一性，一般来说，对一组已知可行状态变量做任意可逆的线性变换都能得到一组可行的状态变量。

就实际工程而言，一般选取容易测量的变量作为状态变量，例如电压、电流等等。

由状态变量来刻画系统动态特性的模型，包括状态方程和输出方程。（自己总结的，待修正）

描述状态变量及其一阶导数之间的关系的线性（至少在本门课程中是线性的）方程组。

方法一：从实际物理模型出发，根据物理意义设定状态变量，根据物理定律构建状态变量的微分方程组。

方法二：从系统的传递函数出发，从数学角度，根据数学变换构建状态微分方程组。

通过拉普拉斯变换求解。求解过程如下：

其中φ(t)称为系统的基本矩阵或状态转移矩阵。

状态微分方程组和传递函数的关系？

通过传递函数画出某种特定形式的信号流图和框图模型，然后由流图和框图得到状态微分方程组。

从数学本质上来说，将传递函数转化为状态微分方程组就是将高阶微分方程转化为一阶微分方程组。同理，将状态微分方程组转化为高次微分方程就是将一阶微分方程组转化为高阶微分方程。这其中的转化方式当然有多种。

从数学角度来说，相变量标准型是很简单的一种。

不具有唯一性。存在若干标准型，例如相变量标准型模型、输入前馈标准型。对于不同的标准型，选择的状态变量不同，状态微分方程组不同，信号流图和框图也不同。

由传递函数得到状态微分方程组

Method1：由传递函数得到信号流图，再由信号流图得到状态微分方程——梅森增益公式。

Method2：由传递函数得到系统框图，再由系统框图得到状态微分方程——数学变换。

在该种模式下，前向通路增益由输入信号的各前馈支路决定，因而称为前馈标准型。

此时，输入y(t)等于第一个状态变量x(t)；所有的反馈回路相接触，所有的前向通路与反馈回路接触。

选取物理量作为状态变量以构建模型。

步骤：

将传递函数以部分分式展开，对每个子分式按相变量标准型做出信号流图，将所有信号流图并联起来得到最终结果。

选取的状态变量与极点一一对应。

若n阶传递函数有n个不同的极点，则该种形式的状态微分方程称为对角线标准型，具有n个不同极点的系统总能化为对角线标准型，否则只能化为块标准型，又称为约当标准型。

联立状态方程和输出方程，做拉普拉斯变换，可求解得到输出和输入之间的关系，即为传递函数。

在做拉普拉斯变化，考虑初始状态松弛。

即系统的状态变量随时间的动态变化。

只需已知初始条件、状态转移矩阵和输入即可得到时间响应，问题的关键是得到状态转移矩阵。

多种方法，例如通过定义截尾得到近似转移矩阵，或由定义求逆矩阵。

可通过信号流图求出状态变量与初始条件之间的关系得转移矩阵的拉普拉斯变化，然后做反变换就可以得到转移矩阵。