数列极限

n n + 1 {n\over n+1} n+1n​ ——>1

1、定义：

对于数列an，如果它的极限是a，那么，不管给出多小的正数ε，总能找到正整数N，只要数列的下标n>N，就能保证|an-a|0 |Xn - a| = | n n + 1 {n\over n+1} n+1n​ - 1| = 1 n + 1 {1\over n+1} n+11​ < ε

1 ε \frac 1ε ε1​ < n + 1 n > 1 ε \frac 1ε ε1​ - 1注意：一定是大于 N = [| 1 ε \frac 1ε ε1​ - 1|] + 1

n > N时 | n n + 1 {n\over n+1} n+1n​ - 1| < ε

性质

① 数列收敛 极限是唯一的

② 数列收敛 数列一定是有界的

※ 有界是收敛的必要不充分条件

※ 单调有界则一定有极限

③ 如果Xn 的极限为a 且 a > 0或a < 0 一定存在N 使得n > N时 Xn > 0

④ 如果数列收敛于a 子数列收敛于a

子数列：某个序列的子序列是从最初序列通过去除某些元素但不破坏余下元素的相对位置（在前或在后）而形成的新序列。注意：子数列的次序必须和主数列的次序一样。

定义： 设函数在点的某一去心邻域内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数（无论它多么小），总存在正数，使得当x满足不等式时，对应的函数值都满足不等式： 那么常数A就叫做函数当时的极限，记作

性质1：如果limf(x)存在，它一定是唯一的

性质2：limf(x)存在 (f(x)有界)，存在X0的去心邻域

性质3：如果limf(x)=a, 则a>0, 一定存在一个去心邻域， f(x)>0

性质4： lim ⁡ x → x o f ( x ) = a \lim\limits_{x\rightarrow xo} f(x)=a x→xolim​f(x)=a x --> x0 对于任意数列{xn}

lim ⁡ x → ∞ \lim\limits_{x\rightarrow\infty} x→∞lim​ xn --> x0

lim ⁡ x → ∞ \lim\limits_{x\rightarrow\infty} x→∞lim​ f(xn) --> a

①找一个数列 {xn} 证明极限不存在 则函数极限就不存在 ②找两个数列{xn} 证明两极限不相等 则函数极限就不存在