高等代数章节总结(特征值和相似标准型) |
您所在的位置:网站首页 › 特征多项式和矩阵的关系公式 › 高等代数章节总结(特征值和相似标准型) |
前言:
本次梳理主要以结论和例题为主,结论也不再此处证明,如有需要可以在评论区询问,我会给出证明。 基础概念不再赘述,但是概念中需要注意和辨析的点会有偶尔涉及。 本文适合相应知识已经掌握到一定程度的看官,因为这篇总结的本质是我欲把所有学过的结论归归类,所以会出现章节穿插内容。 以上都OK我们就开始吧。
一、特征值与特征向量向量特征多项式
首先是关于特征值的结论: 方阵才能有特征值,所以像“任何矩阵都有特征值”这种话错的显而易见。特征值可以为0。n阶方阵A可逆所以接下来给出有关特征向量的结论: 特征向量不能是0向量。矩阵A的属于同一个特征值的多个特征向量的线性组合不一定仍是该特征值的特征向量,必须保证组合之后不能是0向量。矩阵A的不同特征值的特征向量和一定不是该矩阵的特征向量。而特征值与特征向量是用特征多项式求出来的 所以接下来是跟特征多项式有关的结论: ![]() 好,我们接下来就说说对角化的结论 二、对角化声明:实矩阵在实数域上不一定能对角化如极小多项式为 那接下来就说说关于极小多项式的结论。 若x-a是极小多项式的k重因式,那么A的若当标准型中以a为主对角元的若当块的阶数为t。极小多项式就是次幂最大的不变因子。两个矩阵的极小多项式和特征多项式分别相等,它们不一定相似;两个矩阵的特征多项式相等,且都等于极小多项式,两个矩阵也不一定相似。如果矩阵的阶数不超过3,则特征多项式和极小多项式分别相等的两个矩阵一定相似。0向量生成的 证明: 易知上式的友阵为 令 上面引入了友阵,我们接下来就说说友阵。 任何一个多项式都有友阵。n阶友阵的秩只有r/r-1两种可能性。友阵的行列式因子为1,......1,f(λ),1的个数为r-1。由1可知,每一个不变因子都有一个友阵。而每一个不变因子的友阵就是A的有理标准型的有理块。所以接下来说一说有理标准型: 有理标准型形相等的两个矩阵一定相似。矩阵A的有理标准形是一个准对角阵,每一个对角块都是相应不变因子的友阵。所以接下来说不变因子: 三、矩阵的不变因子、初等因子(行列式因子不再进行赘述) 不变因子蕴含矩阵秩的信息,有多少个不变因子矩阵的阶数就是多少。(这里的不变因子包含1)最高次幂的不变因子就是矩阵的极小多项式,而不变因子的乘积就是特征多项式。如果极小多项式=矩阵阶数,那么不变因子只有m(x)这一个非1不变因子。若两个矩阵有相同的不变因子,两个矩阵不一定相抵(必须要求两个矩阵的形状一样)。不变因子能确定初等因子,但是反过来单单凭借初等因子不能确定不变因子。所以接下来给出关于初等因子的结论。 矩阵的初等因子的个数不蕴含秩的信息。即使非零多项式矩阵有相同的初等因子,他们也不一定相抵。初等因子可以确定矩阵的若当标准型。好,我们接下来就说说Jordan标准型。 四、Jordan标准型 运用若当块,我们可以得到复数域上某个线性空间的代数重数=根子空间的维数。某个特征值的几何重数等于若当块个数。如果若当块个数为矩阵阶数,这个是一定能对角化的矩阵。若J为A的若当标准型,则有如下性质: J中以所以我们接下来说说矩阵的相似。 五、矩阵的相似 必要不充分条件(换句话说就是相似矩阵的性质) 相似矩阵行列式相等。相似矩阵迹相等。相似矩阵特征值相等。相似矩阵极小多项式相同。相似矩阵的秩相等。相似矩阵的初等因子相同。注意:以上经常和相似的传递性混在一起使用,所以要注意不能只把目光放在两个矩阵之间。 充要条件 两个矩阵的若当标准型相等。两个矩阵特征值相同而且都可以对角化(这里不要求同时对角化)。两个矩阵的特征矩阵有如下性质: 特征矩阵相抵(指的是所以我们接下来说说矩阵的相抵。 六、多项式矩阵的相抵(数字矩阵的不再进行研究) 充要条件: Smith标准型相同各阶行列式因子相同不变因子相同代值一样。 七、二级结论 (1)同时对角化:而线性变换的表示形式为: ![]() |
今日新闻 |
推荐新闻 |
CopyRight 2018-2019 办公设备维修网 版权所有 豫ICP备15022753号-3 |