排队论（queueing theory）是研究排队系统（又称为随机服务系统）的数学理论和方法，是运筹学的一个重要分支。在日常生活中，人们常常会遇到各种各样的排队问题。如进餐馆就餐，到图书馆借书，在车站等车，去医院看病，去售票处购票，上工具房领物品等等。在这些问题中，餐馆的服务员与顾客、公共汽车与乘客、图书馆的管理员与借阅者、医生与病人、售票员与买票人、管理员与工人等，均分别构成一个排队系统或服务系统。排队问题的表现形式往往是拥挤现象，随着生产与服务的日益社会化，由排队引起的拥挤现象会愈来愈普遍。

通过对排队论基础知识进行梳理和总结，小编绘制了《排队论思维导图》，如上图所示，排队论章节一共包含6个小节。

第1小节是排队论基本概念。对排队论的基本概念以及表达形式等进行了介绍，主要涉及6个知识点，包括：排队系统的特征及排队论、排队系统的描述、排队系统的符号表示、排队系统的主要数量指标和记号、排队论研究的基本问题。

第2小节是生灭过程和Poisson过程。对排队论中的生灭过程和Poisson过程进行了介绍，主要涉及2个知识点，包括：生灭过程简介、Poisson过程和负指数分布。

第3小节是M/M/s等待制排队模型。分别对M/M/s等待制排队模型中的单服务台模型和多服务台模型进行了介绍，主要涉及2个知识点，包括：单服务台模型、多服务台模型。

第4小节是M/M/s混合制排队模型。分别对M/M/s混合制排队模型中的单服务台模型和多服务台模型进行了介绍，主要涉及2个知识点，包括：单服务台混合式模型、多服务台混合式模型。

第5小节是其他排队模型简介。对一些常用的排队论模型进行了介绍，主要涉及3个知识点，包括：有限源排队模型、服务率或到达率依赖状态的排队模型、非生灭过程排队模型。

第6小节是排队系统的优化。对排队系统优化过程中的参数进行了介绍，主要涉及2个知识点，包括：M/M/1模型中的最优服务率、M/M/s模型中的最优服务台数s*。

前 言

排队论的发展主要分为以下三个阶段：

如今，排队论在诸多领域都有广泛应用。在通信领域，主要应用于经典排队理论，以及一些排队论分析常用方法，如扩大状态空间法、半马氏分析法、流体流方法、大偏差理论方法等。在分配领域，主要研究合理利用资源、多目标的合理处理，一般用来解决减少资源浪费，防止拥塞，对目标的及时处理，提高系统工作效率等问题。在交通领域，主要研究公交车发车间隔与排队长度、停车场的车辆排队、信号灯交叉路口的车辆排队现象与车辆延误等问题。

在我们的日常生活中，排队论体现在餐馆进餐、航班出行、出租车排队、机器维修、分拣快递等多个领域，下面让小编带领大家正式开始排队论的学习吧！

一、排队系统的特征及排队论

排队分为有限排队和无限排队两类。

01 有限排队

有限排队是指排队系统中的顾客数是有限的，即系统的空间是有限的，当系统被占满时，后面再来的顾客将不能进入系统。比如：

（1）顾客在邮局,银行排队办理业务；

（2）病人在医院排队就医；

（3）工厂中等待维修的机床；

（4）等候卸货或进港的轮船, 等候起飞或降落的飞机。

02 无限排队

无限排队是指系统中的顾客数可以是无限的，队列可以排到无限长，顾客到达后均可进入系统排队或接受服务。比如：

（1）不同地方的人手机打车；

（2）散落在厂房里需要维修的机器。

有限排队和无限排队的共同特征是：为了获得某种服务而到达的顾客，如果不能立即得到服务而又允许排队等候,则加入等待的队伍,获得服务后离开。

实际的排队系统可以千差万别，但都可以一般地描述如下：顾客为了得到某种服务而到达系统，若不能立即获得服务而又允许排队等待，则加入等待队伍，待获得服务后离开系统，见如下四种情况：

（1）单服务台排队系统

（2）s个并列服务台，一个队列的排队系统

（3）s个服务台，s个队列的排队系统

（4）多个服务台的串联排队系统

类似地，我们还可以画出许多其他形式的排队系统，尽管各种排队系统的具体形式不同，但都可由如下形式描述：

（5）随机服务系统

二、排队系统的描述

实际中的排队系统各有不同，但概括起来都由三个基本部分组成：输入过程、排队及排队规则和服务机制，分别说明如下：

01 输入过程

输入过程说明顾客按怎样的规律到达系统，需要从以下三方面进行刻画：

（1）顾客总体（顾客源）数：有限/无限

（2）到达方式：单个到达/成批到达

（3）顾客（单个或成批）相继到达时间间隔的分布：令T0=0，Tn表示第n个顾客到达的时刻，则有T0≤T1≤···≤Tn≤···，记Xn=Tn-Tn-1，n=1,2,...，则Xn是第n个顾客与第n-1个顾客到达的时间间隔。假定{Xn}是独立同分布的，记其分布函数为A(t)。关于{Xn}的分布，常用定长分布(D)、泊松分布(M)、爱尔朗分布(ER)、任意分布(G)等。其中泊松分布的概率密度函数如下所示，式中λ为单位时间平均到达的顾客数。

02 排队及排队规则

（1）排队

无限排队：即等待制排队系统，顾客数可以无限多，队列可以无限长。

有限排队：

①损失制排队系统：排队空间为零，不允许排队。

②混合制排队系统：“等待制+损失制度”，允许排队，但不允许队列无限长，具体又分为以下三种：

a)队长有限：系统等待空间有限，最多能容纳K个顾客在系统中；

b)等待时间有限：顾客在系统中等待时间不超过某一给定的长度T；

c)逗留时间有限：等待时间与服务时间之和有限。

记s为系统中服务台的个数，当K=s时，混合制即为损失制；当K=∞时，混合制即为等待制。

（2）排队规则

顾客到达时，若所有服务台都被占用且允许排队，则进入队列等待。需遵循的规则有：

①先来先服务(FCFS)：按顾客到达先后顺序进行服务；

②后来先服务(LCFS)：库存系统常见，如后到的货物最先被取出等；

③具有优先权的服务(PS)：优先权高者先接受服务，如病危患者优先治疗等。

03 服务机制

服务机制包括：

（1）服务员数量及连接形式（串联/并联）；

（2）顾客接受服务形式（单个/成批）；

（3）服务时间的分布。

记某服务台的服务时间为V，其分布函数为B(t)，密度函数为b(t)，常见的分布有：

（1）定长分布(D)：每个顾客接受服务的时间是一个确定的常数；

（2）负指数分布(M)：每个顾客接受服务的时间相互独立，具有相同的负指数分布：

其中，μ>0，为一个常数；

（3）k阶爱尔朗分布(Ek)：每个顾客接受服务的时间服从k阶爱尔朗分布，其密度函数为：

三、排队系统的符号表示

为了方便对众多模型的描述，D.G.Kendall提出了一种“Kendall记号”，其一般形式为：

X/Y/Z/A/B/C

其中，X表示顾客相继到达时间间隔的分布；Y表示服务时间的分布；Z表示并联服务台的个数；A表示系统的容量，即可容纳的最多顾客数；B表示顾客源的数目；C表示服务规则。例如，M/M/1/∞/∞/FCFS表示一个顾客的到达时间间隔服从相同的负指数分布、服务时间为负指数分布、单个服务台、系统容量无限、顾客源无限、先来先服务的排队模型。

四、排队系统的主要数量指标和记号

研究排队系统的目的是通过了解系统运行的状况，对系统进行调整和控制，使系统处于最优运行状态。因此，首先需要弄清系统的运行状况。描述一个排队系统运行状况的主要数量指标有：

（1）队长和排队长：队长是指系统中的顾客数（排队等待的顾客数与正在接受服务的顾客数之和），排队长是指系统中正在排队等待服务的顾客数，队长和排队长一般都是随机变量（其中，队长=排队长+正在被服务的顾客数）；

（2）等待时间和逗留时间：从顾客到达时刻起到开始接受服务止的这段时间称为等待时间，是个随机变量，也是顾客最关心的指标，因为顾客通常是希望等待时间越短越好；从顾客到达时刻起到他接受服务完成止的这段时间称为逗留时间，也是个随机变量，同样为顾客非常关心（其中，逗留时间=等待时间+服务时间）；

（3）忙期和闲期：忙期是指从顾客到达空闲着的服务机构起，到服务机构再次成为空闲止的这段时间，即服务机构连续忙碌的时间，这是个随机变量，是服务员最为关心的指标，因为它关系到服务员的服务强度；与忙期相对的是闲期，即服务机构连续保持空闲的时间。在排队系统中，忙期和闲期总是交替出现的。

排队系统中以上主要指标的常用记号如下表所示：

上表中，λ为顾客平均到达数，1/λ为相邻顾客到达的平均间隔时间，μ为单位时间内可服务完的平均顾客数，1/μ为平均服务时间，s为系统中并行的服务台数，则服务强度ρ=λ/sμ。

五、排队论研究的基本问题

（1）首要问题：排队系统主要数量指标的概率规律，并进一步研究系统的优化问题；

（2）相关问题：①通过研究主要数量指标在瞬时或平衡状态下的概率分布及其数字特征，了解系统运行的基本特征；②统计推断问题，检验系统是否达到平衡状态;检验顾客相继达到时间间隔的相互独立性;确定服务时间的分布及有关参数等；③系统优化问题，包括最优设计和最优运营问题。

以上就是关于排队论的相关基本概念了，通过本节学习大家是否对排队论有了一个初步的认识呢？下一次小编将带大家学习排队论的生灭过程和Poisson过程，敬请关注！