SPH（光滑粒子流体动力学）流体模拟实现五：PCISPH

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SPH（光滑粒子流体动力学）流体模拟实现五：PCISPH

2023-11-05 03:09| 来源: 网络整理| 查看: 265

我们知道真实的液体是不可压缩的，但我们在计算机中离散的计算流体运动，在一定的时间步长内，用标准的SPH方法求解，在在粒子聚集处容易发生挤压，造成压缩。有两种常用的方法模拟不可压缩性：1.在WCSPH(弱可压缩SPH)中，利用刚性状态方程（EOS）建模压力。2.通过求解压力泊松方程实现不可压缩性。但这两种方法都有很昂贵的计算费用。

文章“Predictive-Corrective Incompressible SPH”中，提出了一种预测矫正的方法，来使粒子达到不可压缩性，其性能上相比传统两种方法，更加的高效。

PCISPH模型 SPH概述

在拉格朗日粒子描述下, 控制流体运动的偏微分方程 Navier-Stokes 方程可表示为：

SPH方法的核心思想是以离散化粒子的形式来表征连续的场, 并对场量使用积分近似的方式进行计算。位置在xi粒子i的场量：

第i个粒子的密度计算公式为：

压力场直接从Navier-Stokes方程式推导而得：

PCISPH算法

在PCISPH方法中，速度和位置会及时更新，并估计新的粒子密度。然后，对于每个粒子，计算出参考密度的预测变化，并用于更新压力值，压力值又进入压力的重新计算。此过程一直迭代到收敛，即直到所有粒子密度波动均小于用户定义的阈值η(例如1％)。在完成矫正后，我们再更新速度和位置。详细算法流程图如下：

该算法总体思路如下：

1.计算每个粒子的邻居信息，并记录在邻接表内。

2.计算出了压力之外的所有其他力(黏力，重力)。

3.执行矫正循环：执行1).，2).，3).。

1).预测所有粒子新的的速度和位置。

2).预测所有粒子新的密度，以及计算新密度和旧密度之间的差值。

3).预测所有粒子的压力。

4.完成矫正后，利用矫正的压力计算粒子速度和位置。

压强导数

我们的算法是根据预测的密度计算新的压力值，因此我们需要找到它们之间变化的关系。我们的目的是找到一个压强p，该压强以这样一种方式改变粒子的位置，即预测的密度与参考密度相对应。

对于给定的内核平滑长度h，使用SPH密度求和公式计算时间点t + 1处的密度：

其中 $d_{ij}(t)=x_{i}(t)-x_{j}(t)$ ， $\triangle d_{ij}(t)=\triangle x_{i}(t)-\triangle x_{j}(t)$ 。假定 $\triangle d_{ij}(t)$ 非常小，我们可以用一阶泰勒展开近似：

带入 $\rho _{I}(t+1)$ 得：

我们令，因此密度增量公式为：

我们假设邻居具有相等的压强 $\widetilde{p_{i}}$ 且密度为静止密度 $\rho _{0}$ (根据不可压缩性条件)，则结果是：

PCISPH算法在每次迭代校正时只矫正d流体粒子的压力，通过迭代计算出的压力让粒子之间不至于靠的过近(粒子之间距离太近可以理解为流体可压缩)。在只考虑压力 $F_{i}^{p}$ 的情况下，根据时间积分可以计算出粒子在该压力作用下的位移：

粒子i在获得粒子j的压力同时，也会对领居粒子j施加反作用力，因此：

同样，由于粒子i导致粒子j产生的位移为：

将位移增量带入密度增量公式：

因此 $\widetilde{p_{i}}$ 为：

其中 $\beta$ 为：

$\widetilde{p_{i}}$ 公式表示了我们迭代过程中，需要不断变化 $\triangle \rho _{i}(t)$ 的密度值，从而满足粒子不可压缩性。而改变 $\triangle \rho _{i}(t)$ 的密度需要改变 $\widetilde{p_{i}}$ 的压强。我们每次预测的粒子密度为： $\rho _{i}^{*}$ 。预测密度和静止密度之间的误差为： $\rho _{err}^{*}=\rho _{i}^{*}-\rho _{0}$ 。而我们的目标是让粒子密度为 $\rho _{0}$ ，这需要的密度改变量为 $-\rho _{err}^{*}$ 。因此，我们需要施加的压强值为：

这个压强计算公式在邻居粒子数目不足的时候会导致计算错误，解决办法是进行一次预计算，即在流体粒子周围充满邻居粒子的情况下计算。我们可以直接在初始化流体时计算一次系数 $\delta$ 即可：

因此，我们的压强改变量 $\widetilde{p_{i}}$ 为：

由于只要不满足不可压缩条件，我们就重复进行预测校正步骤，因此，我们需要在迭代中不断矫正压强：

算法实现

我们之前提到，在计算系数 $\delta$ 时需要在流体初始化时计算。因此我们使用函数_computeGradWValues()和_computeDensityErrorFactor()计算该系数：

void FluidSystem::_init(unsigned int maxPointCounts, const fBox3 &wallBox, const fBox3 &initFluidBox, const glm::vec3 &gravity){ m_pointBuffer.reset(maxPointCounts); m_sphWallBox=wallBox; m_gravityDir=gravity; //根据粒子间距计算粒子质量 m_pointMass=m_restDensity*pow(m_pointDistance,3.0); //设定流体块 _addFluidVolume(initFluidBox, m_pointDistance/m_unitScale); //MarchingCube算法属性 m_mcMesh=rxMCMesh(); m_gridContainer.init(wallBox, m_unitScale, m_smoothRadius*2.0, 1.0,m_rexSize,m_gridScale);//设置网格尺寸(2r) m_field=new float[(m_rexSize[0]+1)*(m_rexSize[1]+1)*(m_rexSize[2]+1)](); posData=std::vector(3*m_pointBuffer.size(),0); m_hPosW.resize(3*m_pointBuffer.size(),0.0); m_gridContainer.insertParticles(&m_pointBuffer);//每帧刷新粒子位置 m_neighborTable.reset(m_pointBuffer.size());//重置邻接表 //计算W的梯度 _computeGradWValues(); //计算因子 _computeDensityErrorFactor(); }

其中_computeGradWValues()代码如下：

void FluidSystem::_computeGradWValues(){ float h2=m_smoothRadius*m_smoothRadius;//h^2 const int numP=m_pointBuffer.size(); for (int i=0; isum_grad_w=glm::vec3(0.0f); pi->sum_grad_w_dot=0.0f; } for (int i=0; ikernel_self=_computeNeighbor(i); m_neighborTable.point_commit(); int neighborCounts=m_neighborTable.getNeighborCounts(i); //预测密度计算 for (int j=0; jpos-pj->pos)*m_unitScale; float r2=pi_pj.x*pi_pj.x+pi_pj.y*pi_pj.y+pi_pj.z*pi_pj.z; if(h2>r2){ float h2_r2=h2-r2; r=pow(r2,0.5f); float h=m_smoothRadius; glm::vec3 gradVec=(pi->pos-pj->pos)*m_kernelSpiky/r*(h-r)*(h-r); pi->sum_grad_w+=gradVec; pj->sum_grad_w-=gradVec; pi->sum_grad_w_dot+=glm::dot(gradVec,gradVec); pj->sum_grad_w_dot+=glm::dot(-1.0f*gradVec,-1.0f*gradVec); } } } }

我们在其中计算所有粒子的和。

之后我们在函数_computeDensityErrorFactor()中计算系数 $\delta$ ，代码如下：

void FluidSystem::_computeDensityErrorFactor(){ float h2=m_smoothRadius*m_smoothRadius; int maxNeighborIndex = 0; int maxNeighs = 0; const int numParticles = m_pointBuffer.size(); for (int i=0; ipos)*m_unitScale; float r2=pi_pj.x*pi_pj.x+pi_pj.y*pi_pj.y+pi_pj.z*pi_pj.z; if(h2>r2){ numNeighbors++; } } //获取邻居最多的粒子，和邻居个数 if (numNeighbors>maxNeighs) { maxNeighs=numNeighbors; maxNeighborIndex=i; } } //获取邻居最多的粒子 Point* pmax=m_pointBuffer.get(maxNeighborIndex); //计算新的压力根据密度误差 float restVol=m_pointMass/m_restDensity; float preFactor=2.0*restVol*restVol*m_deltaTime*m_deltaTime; float gradWTerm=glm::dot(pmax->sum_grad_w*(-1.0f),pmax->sum_grad_w)-pmax->sum_grad_w_dot; float divisor=preFactor*gradWTerm; m_densityErrorFactor=-1.0/divisor; const float factor = m_deltaTime / 0.0001f; float densityErrorFactorParameter = 0.05 * factor * factor; m_densityErrorFactor*=1.0*densityErrorFactorParameter; }

值得注意的是，我们还在 $\delta$ 系数之前乘上densityErrorFactorParameter影响系数，该系数受 $\Delta t$ 影响。如果不乘上该系数就会出错，论文里并没有明确提出。

计算完成预计算的 $\delta$ 系数后，我们的tick()函数如下：

void FluidSystem::tick(bool suf){ //求解领居结构 m_gridContainer.insertParticles(&m_pointBuffer);//每帧刷新粒子位置 m_neighborTable.reset(m_pointBuffer.size());//重置邻接表 //计算外力 _computerExternalForces(); //预测矫正 _predictionCorrection(); //更新速度和位置 _updatePosAndVel(); //用于构建表面 glm::vec3 tem=m_sphWallBox.min-glm::vec3(1.0); if(suf){ CalImplicitFieldDevice(m_rexSize, tem, glm::vec3((1.0/m_gridScale)/m_gridContainer.getDelta()), m_field); clearSuf();//清空表面数据 m_mcMesh.CreateMeshV(m_field, tem, (1.0/m_gridScale)/m_gridContainer.getDelta(), m_rexSize, m_thre, m_vrts, m_nrms, m_face); } }

我们按照算法流程，首先求解领居结构，这在之前的章节里介绍过，这里就不多提了。

然后计算除了压力的所有外力，该函数_computerExternalForces()代码如下：

void FluidSystem::_computerExternalForces(){ float h2=m_smoothRadius*m_smoothRadius;//h^2 for(int i=0;iforces=glm::vec3(0.0); //邻居粒子装载 pi->kernel_self=_computeNeighbor(i); m_neighborTable.point_commit(); //外力计算 int neighborCounts=m_neighborTable.getNeighborCounts(i); const float restVolume=m_pointMass/m_restDensity; for(unsigned int j=0;jforces-=(pi->velocity-pj->velocity)*vterm; } //F_gravity pi->forces+=m_gravityDir*m_pointMass; //F_boundary pi->forces+=_boundaryForce(pi)*m_pointMass; //初始化矫正因子 pi->correction_pressure=0.0f; pi->correction_pressure_froce=glm::vec3(0.0); } }

计算完成外力后，进入矫正预测环节，该函数_predictionCorrection()代码为：

void FluidSystem::_predictionCorrection(){ _density_error_too_large=true; int iteration=0; while ((iteration

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