一个平面或超平面由一个方程（不是一组方程）定义： { x ∣ a T x = b } \{x\mid a^Tx=b\} {x∣aTx=b} 其中 a a a 是一个非零的列向量，而 b b b 是一个实数。那么它的法线（垂线）向量是 a a a。 例如，超平面 2 x + 3 y + 4 z = 5 2x+3y+4z=5 2x+3y+4z=5 它法线向量是： ( 2 , 3 , 4 ) (2, 3, 4) (2,3,4)。它的一个法线是： x − 1 2 = y − 1 3 = z − 1 4 \frac{x-1}{2}=\frac{y-1}{3}=\frac{z-1}{4} 2x−1​=3y−1​=4z−1​

画图表示： 画图的 matlab 代码：

设一个超平面为 a T x = b 1 a^Tx=b_1 aTx=b1​，另一个超平面为 a T x = b 2 a^Tx=b_2 aTx=b2​，求两个超平面的距离。

解： 超平面的法线向量为 a a a，经过第一个超平面上的点 x 1 x_1 x1​ 的法线为： x = x 1 + t a x=x_1+ta x=x1​+ta, ( t ∈ R ) (t\in R) (t∈R)。则该法线与第二个超平面的交点满足： a T ( x 1 + t a ) = b 2 a^T(x_1+ta)=b_2 aT(x1​+ta)=b2​ 因此 t = ( b 2 − a T x 1 ) / a T a t=(b_2-a^Tx_1)/a^Ta t=(b2​−aTx1​)/aTa， 因此 x 2 = x 1 + ( b 2 − a T x 1 ) a a T a = x 1 + ( b 2 − b 1 ) a a T a x_2=x_1+\frac{(b_2-a^Tx_1)a}{a^Ta}=x_1+\frac{(b_2-b_1)a}{a^Ta} x2​=x1​+aTa(b2​−aTx1​)a​=x1​+aTa(b2​−b1​)a​

连个超平面的距离即为 x 1 x_1 x1​ 与 x 2 x_2 x2​ 的距离： ∥ x 2 − x 1 ∥ = ∥ ( b 2 − b 1 ) a a T a ∥ = ∣ b 2 − b 1 ∣ ∥ a ∥ \|x_2-x_1\|=\|\frac{(b_2-b_1)a}{a^Ta}\|=\frac{|b_2-b_1|}{\|a\|} ∥x2​−x1​∥=∥aTa(b2​−b1​)a​∥=∥a∥∣b2​−b1​∣​

如下图所示：