本文是《科学计算与MATLAB语言》专题七第3小节的学习笔记，如果大家有时间的话，可以去听听课，没有的话，可以看看我的笔记，还是很不错的。本节主要讲了如何利用MATLAB求级数之和以及泰勒级数如何计算，文中每个代码我都跑过一遍，可以直接复制到MATLAB中运行。

求无穷级数的和需要符号表达式求和函数symsum（），其调用格式为： symsum（s，v，n，m） 其中，s表示一个级数的通项，是一个符号表达式。v是求和变量，v省略时使用系统的默认变量。n和m是求和变量v的初值和末值。 银行利率的计算问题 例1 求下列级数之和。 (1) S 1 = 1 + 4 + 9 + 16 + … + 10000 S_1=1+4+9+16+…+10000 S1​=1+4+9+16+…+10000 (2) S 2 = 1 − 1 2 + 1 3 − 1 4 + . . . + ( − 1 ) n + 1 1 n . . . S_2=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+(-1)^{n+1}\frac{1}{n}... S2​=1−21​+31​−41​+...+(−1)n+1n1​... (3) S 3 = 1 − 1 3 + 1 5 − 1 7 + . . . + ( − 1 ) n + 1 1 2 n − 1 . . . S_3=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+...+(-1)^{n+1}\frac{1}{2n-1}... S3​=1−31​+51​−71​+...+(−1)n+12n−11​... (1) S 1 = 1 + 4 + 9 + 16 + … + 10000 S_1=1+4+9+16+…+10000 S1​=1+4+9+16+…+10000

(2) S 2 = 1 − 1 2 + 1 3 − 1 4 + . . . + ( − 1 ) n + 1 1 n . . . S_2=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+(-1)^{n+1}\frac{1}{n}... S2​=1−21​+31​−41​+...+(−1)n+1n1​...

(3) S 3 = 1 − 1 3 + 1 5 − 1 7 + . . . + ( − 1 ) n + 1 1 2 n − 1 . . . S_3=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+...+(-1)^{n+1}\frac{1}{2n-1}... S3​=1−31​+51​−71​+...+(−1)n+12n−11​...

上式是什么意思呢？

看 看 4 倍 的 S 3 是 什 么 意 思 。 看看4倍的S_3是什么意思。 看看4倍的S3​是什么意思。

可以看出 S 3 = π 4 S_3=\frac{\pi}{4} S3​=4π​。

假设某人在银行存款50000元，年利率为4.5%，按复利计息。 ①若半年期计息一次，请问一年后总金额是多少？ ②若每季度计息一次，请问一年后总金额是多少？ ③若每月计息一次，请问一年后总金额是多少？ ④若计息时间无限短，即计息期数趋于无穷，则一年后总金额是多少？ 思考：期数无限多，总金额是否也会无限增长？ 问题分析： 假 设 存 款 （ 初 始 总 金 额 ） 为 p ， 年 利 率 为 r ， 计 息 期 数 为 k 。 第 一 期 后 总 金 额 为 p ∗ （ 1 + r / k ） 。 第 二 期 后 总 金 额 为 p ∗ （ 1 + r / k ） 2 。 第 三 期 后 总 金 额 为 p ∗ （ 1 + r / k ） 3 。 依 此 类 推 ， 第 k 期 后 总 金 额 为 p ∗ （ 1 + r / k ） k 。 \color{green}假设存款（初始总金额）为p，年利率为r，计息期数为k。\\ 第一期后总金额为p*（1+r/k）。\\ 第二期后总金额为p*（1+r/k）^2。\\ 第三期后总金额为p*（1+r/k）^3。\\ 依此类推，第k期后总金额为p*（1+r/k）^k。 假设存款（初始总金额）为p，年利率为r，计息期数为k。第一期后总金额为p∗（1+r/k）。第二期后总金额为p∗（1+r/k）2。第三期后总金额为p∗（1+r/k）3。依此类推，第k期后总金额为p∗（1+r/k）k。

①若半年期计息一次，请问一年后总金额是多少？

②若每季度计息一次，请问一年后总金额是多少？

③若每月计息一次，请问一年后总金额是多少？

④若计息时间无限短，即计息期数趋于无穷，则一年后总金额是多少？

所以，即使是无数次计息，只要年利率确定，总金额也不会无限增长，它收敛于 p e r pe^r per。 当p=5000,r=4.5%时。

注 意 ： 在 符 号 计 算 中 ， 因 为 小 数 都 表 示 为 有 理 分 数 的 形 式 , 随 着 计 算 次 数 的 增 加 ， 容 易 导 致 分 子 或 分 母 出 现 极 大 整 数 从 而 无 法 计 算 的 情 况 。 \color{red}注意：\\在符号计算中，因为小数都表示为有理分数的形式,随着计算次数的增加，\\容易导致分子或分母出现极大整数从而无法计算的情况。 注意：在符号计算中，因为小数都表示为有理分数的形式,随着计算次数的增加，容易导致分子或分母出现极大整数从而无法计算的情况。 求以下级数之和 (1) S 1 = 1 + 1 / 4 + 1 / 9 + . . . + 1 / n 2 + . . . S_1=1+1/4+1/9+...+1/n^2+... S1​=1+1/4+1/9+...+1/n2+... (2) S 2 = 1 + 1 / 4 + 1 / 9 + . . . + 1 / 50 0 2 S_2=1+1/4+1/9+...+1/500^2 S2​=1+1/4+1/9+...+1/5002

第2个级数无法使用symsum函数求和。但可以使用循环计算。

MATLAB提供了taylor（）函数将函数展开为幂级数，其调用格式为： taylor（f，v，a，Name，Value） 该函数将函数f按变量v在a点展开为泰勒级数，v的默认值与diff函数相同，a的默认值是0。Name和Value为选项设置，经常成对使用，前者为选项名，后者为该选项的值。 Name有3个可取字符串： ①’ExpansionPoint’：指定展开点，对应值可以是标量或向量。 未设置时，展开点为0。 ②’Order’：指定截断参数，对应值为一个正整数。未设置时，截断参数为6，即展开式的最高阶为5。 ③’OrderMode’：指定展开式采用绝对阶或相对阶，对应值为 ’Absolute’或’Relative’。未设置时取Absolute’。

例2 求函数 f f f在 x = 1 x=1 x=1处的5阶泰勒级数展开式。 (1) f = 1 + x + x 2 1 − x + x 2 f=\frac{1+x+x^2}{1-x+x^2} f=1−x+x21+x+x2​

复杂函数的计算方法问题 除 了 四 则 运 算 以 外 ， 计 算 机 对 其 他 复 杂 函 数 怎 么 计 算 ？ 是 否 存 在 一 种 方 法 ， 使 得 计 算 机 只 需 要 通 过 四 则 运 算 ， 就 能 计 算 其 他 复 杂 函 数 ？ \color{blue}除了四则运算以外，计算机对其他复杂函数怎么计算？\\是否存在一种方法，使得计算机只需要通过四则运算，就能计算其他复杂函数？ 除了四则运算以外，计算机对其他复杂函数怎么计算？是否存在一种方法，使得计算机只需要通过四则运算，就能计算其他复杂函数？ 泰勒级数展开就是一种非常好的解决方案。 例3 利用泰勒展开式计算三角函数的值。

通过泰勒级数展开的方法，成功地将三角函数的计算转换成了四则运算。 是不是感觉数学实在是太美妙了。

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