什么是相关变化率？ 举例来说吧。我们知道圆的面积 \(A=\pi r^2\) ，如果这个半径是根据时间变化的，那么很显然，面积也根据时间变化。变化率其实就是导数，如果我们知道半径的变化率（就是半径关于时间的导数） \(\frac{dr}{dt}\)，那么在某个时刻，面积对于时间的变化率（导数 \(\frac{dA}{dt}\)) 也就知道了。

从数学的角度来看这个问题，其实就是复合函数的求导法则。半径可以看成是时间的函数\(r=r(t)\)，那么面积\(A(t)=\pi r^2(t)\)，由复合函数的求导法则\(\frac{dA}{dt}=\frac{dA}{dr}\cdot\frac{dr}{dt}=2\pi r \frac{dr}{dt}\)。假如 \(r\) 每秒增加 \(1\) cm， 那么当半径为 \(2\) 的时候的面积的变化率为 \(2\pi \cdot 2\cdot 1=4\pi cm\)。

这种类型的问题，另一个难点是不知道怎么把实际问题转化成数学问题。这就是如何建立数学模型的问题。它的实际困难就是，很多同学并不知道其实变化率就相当于导数。但是从导数的定义就知道，导数就是变化率 \(\frac{\Delta y}{\Delta x}\) 的极限。当时间间隔足够短的时候，变化率就可以看成是导数。

我们来看两个例题，来说明如何求相关变化率。

例1：设 \(x^2+y^2=25\)以及当\(x=4\) 的时候 \(\frac{dx}{dt}=5\)， 求当 \(x=4\) 的时候 \(\frac{dy}{dt}\)的值。

解：两边关于 \(t\) 求导，我们得到

\[2x \frac{dx}{dt}+2y\frac{dy}{dt}=0 \]

当 \(x=4\) 的时候 , \(y=\pm 3\)

\[8\cdot 5\pm6 \frac{dy}{dt}=0 \]

所以

\[ \frac{dy}{dt}=\mp \frac{20}{3} .\]

例2：两辆汽车从同一点出发，其中一辆以 \(60\) 公里每小时向南行驶，另一辆车以每小时 \(25\) 公里向西行驶。问在两小时后，两辆车的距离的变化率是多少？

解：我们可以用图来说明

\begin{tikzpicture}

\draw [->] (4,0)–(2,0);

\draw [->] (4,0)–(4,-4);

\draw (2,0)–(4,-4);

\node [right] at (4,0) {$A$};

\node [below] at (4,-4) {$B$};

\node [left] at (2,0) {$C$};

\node [right] at (4,-2) {$x$};

\node [above] at (3,0) {$y$};

\node [left ] at (2.8,-2) {$z$};

\end{tikzpicture}

我们设AB 的长度为 \(x\)， AC 的长度为 \(y\)，BC 的长度为 \(z\)，那么 \(z^2=x^2+y^2\)，两小时后，\(x=120, y=50\)，\(z=130\)， 同时，由题设，\(\frac{dx}{dt}=60, \frac{dy}{dt}=25\)，我们要求的是 \(\frac{dz}{dt}\)，我们对方程 \(z^2=x^2+y^2\) 两边同时对 \(t\) 求导，我们得到

\[2z\frac{dz}{dt}=2x\frac{dx}{dt}+2y\frac{dy}{dt}\]

代入我们刚才得到的数值，我们有

\[2\cdot 130 \frac{dz}{dt}=2\cdot 120\cdot 60+2\cdot 50\cdot 25 \]

所以 \(\frac{dz}{dt}=\frac{16900}{260}=65\)公里/小时