傅里叶变换，表示能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。最初傅里叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的。

傅里叶变换和逆变换的公式为如下所示：

F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i\omega t}dt

f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)e^{i\omega t}d\omega

在信号处理方面傅里叶变换虽然好用但是它也存在着一定的局限性，比如只能够反应频域信息而忽略对时域信息的关注。最重要的是傅里叶变换在处理非平稳过程中存在一定的局限性，即难以及时反映突变信号的出现。

看如上的三幅图像，左面表示信号在时域的图像，而右面表示频域的图像。可以看出三种信号在时域的表示存在很大的差别，而在频域的表示则相差甚微。

很容易发现，傅里叶变换处理非平稳信号有天生缺陷。它只能获取一段信号总体上包含哪些频率的成分，但是对各成分出现的时刻并无所知。因此时域相差很大的两个信号，可能频谱图一样。

然而平稳信号大多是人为制造出来的，自然界的大量信号几乎都是非平稳的，因此发现一种既能够反映信号时域特征和频域特征的工具是十分必要的。

为了弥补傅里叶变换的不足，把整个时间域分解成无数个等长的小过程（加窗），每个过程近似平稳，再傅里叶变换，就知道在哪个时间点上出现了什么频率。

这种方法可以视为给数据加窗口，一个窗口对应一个小信号，只要窗口足够小，我们就可以将每一个小过程近似为平稳的。

这种方法就是短时傅里叶变换

通过综合分析每一个窗口的信息就可以得到该信号在时域方向的特征。

用这样的方法，可以得到一个信号的时频图：

图上既能看到10Hz,25 Hz,50 Hz,100 Hz四个频域成分，还能看到出现的时间。

这样看来短时傅里叶变换已经很好用了，为什么还要用引入小波变换呢？

原因自然是它仍存在着一些不足之处，比如这个时间窗口的大小应该如何选择。

窗太窄，窗内的信号太短，会导致频率分析不够精准，频率分辨率差。

窗太宽，时域上又不够精细，时间分辨率低。

由此就引出了另一个工具——小波变换

对于傅里叶变换，其把无限长的三角函数作为基函数：

这个基函数会伸缩、会平移（其实本质并非平移，而是两个正交基的分解）。

说实话不太能够理解这句话的含义？有没有懂得给解释一下，感激不尽！！！

缩得窄，对应高频；伸得宽，对应低频。然后这个基函数不断和信号做相乘。

某一个尺度（宽窄）下乘出来的结果，就可以理解成信号所包含的当前尺度对应频率成分有多少。

于是，基函数会在某些尺度（宽窄）下，与信号相乘得到一个很大的值，因为此时二者有一种重合关系。那么我们就知道信号包含该频率的成分的多少。

看，这两种尺度能乘出一个大的值（相关度高），所以信号包含较多的这两个频率成分，在频谱上这两个频率会出现两个峰。

注释：以上几句话其实和信号的分解有关，对于某一个函数，它可以被分解成一系列的三角函数，并且这些三角函数是相互正交的

小波做的改变就在于，将无限长的三角函数基换成了有限长的会衰减的小波基。

从公式可以看出，不同于傅里叶变换，变量只有频率 \omega ，小波变换有两个变量：尺度 a（scale）和平移量τ（translation）。尺度 a控制小波函数的伸缩，平移量 τ 控制小波函数的平移。尺度就对应于频率（反比），平移量 τ 就对应于时间。

当伸缩、平移到这么一种重合情况时，也会相乘得到一个大的值。这时候和傅里叶变换不同的是，这不仅可以知道信号有这样频率的成分，而且知道它在时域上存在的具体位置。

而当我们在每个尺度下都平移着和信号乘过一遍后，我们就知道信号在每个位置都包含哪些频率成分。

注释：通过记录不同τ和a时对应的频域值，既可以得到信号的频域特性和时域特性。

做傅里叶变换只能得到一个频谱，做小波变换却可以得到一个时频谱！如下图所示，其效果显而易见。

小波还有一些好处，比如，我们知道对于突变信号，傅里叶变换存在吉布斯效应，我们用无限长的三角函数怎么也拟合不好突变信号：

然而衰减的小波就不一样了：

小波变换到这里差不多可以明白它到底是做什么的了。

小波变换的定义是把一个称为基本小波或母小波的函数 \psi(t) 做位移 \tau 后，在不同尺度a下与待分析信号二做内积。

再回顾一下小波变换的公式： WT(a,\tau)=\frac{1}{\sqrt{a}}\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\psi \left( \frac{t-\tau}{a} \right)dt

小波基\psi\left( t \right) 是一种特殊的长度有限紧支撑或快速衰减，且均值为零的波形，即小区域的波，这一点很重要还是要啰嗦一遍。

小波基（或者也叫基函数、小波函数，不同文献的定义不一样）并不是所有的函数都可以，它需要满足以下条件：

小波基函数的窗口随尺度因子的不同而伸缩，当a逐渐增大时，基函数\psi\left( t \right)的时间窗口也逐渐变大，而其对应的频域窗口相应减小，中心频率逐渐变低。相反，当a逐渐减小时，基函数\psi\left( t \right)的时间窗口逐渐减小，而其频域窗口相应增大，中心频率逐渐升高。由此可知，当用较大的对信号做分析时，实际上是用低频小波对信号做概貌观察，分析的结果显示信号低频段的特征，当用较小的a对信号做分析时，实际上是用高频小波对信号做细致观察，分析的结果显示信号高频段的特征。

小波分析中所用到的小波函数具有不唯一性，即小波函数具有多样性如:Haar 小波、Daubechis 小波系、Biorthogonal 小波系、Coiflet 小波系、Symlets 小波系、Mexh 小波和 Morlet 小波等。

不同的小波在正交性、紧支撑性、平滑性和对称性上表现出不同的特性，往往难以构造一个同时具有4种特性的小波函数。实际应用中只有根据不同信号的处理目的和分解需要，在几种特性之间取折中，选择满足需要的小波来分解。

下面在定性和定量两方面进行分析：

1、定性地讲，当被检测信号的振荡频率与相应尺度的小波函数振荡频率相近时，信号获得了较大系数的小波分解，这就是小波分析可以多尺度提取信号不同频率成分的原因。

2、定量上讲，通常采用“熵”值来度量信号和小波基之间的距离，其中序列{u(k)}的熵通常定义为：

该距离越小(即熵值越小)，则信号和基之间的差别越小，信号获得的分解越大。

因此，针对不同的瞬态信号需要选择不同的小波，通过比较不同小波分解后熵值的大小，选择使熵值较小的小波以获得较大的分解，达到较好的检测分析效果。

在实际运用中，小波基函数选择可从以下3个方面考虑：

(1)复值与实值小波的选择。复值小波作分析不仅可以得到幅度信息，也可以得到相位信息，所以复值小波适合于分析计算信号的正常特性。而实值小波最好用来做峰值或者不连续性的检测。

(2)连续小波的有效支撑区域的选择。连续小波基函数都在有效支撑区域之外快速衰减。有效支撑区域越长，频率分辨率越好；有效支撑区域越短，时间分辨率越好。

(3)小波形状的选择。如果进行时频分析，则要选择光滑的连续小波，因为时域越光滑的基函数，在频域的局部化特性越好。如果进行信号检测，则应尽量选择与信号波形相近似的小波。

看几个常见小波基函数的公式：

morlet 小波基函数：

haar小波基函数：

本文章非完全原创，仅为作者学习时的笔记，主要是参考自

1.如何通俗地讲解傅立叶分析和小波分析间的关系？ - 咚懂咚懂咚的回答 - 知乎 https://www.zhihu.com/question/22864189/answer/40772083

2.小波变换（深入浅出）_赵孝正的博客-CSDN博客

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