简单地说，傅里叶级数就是用一组正交函数将周期信号表示出来。

傅里叶变换就是用一组正交函数将非周期信号表示出来。

无论是傅里叶级数还是傅里叶变换，都是将信号从时域转到频域。

傅里叶变换和拉普拉斯变换的联系----拉普拉斯变换是傅里叶变换延伸，而傅里叶变换是拉普拉斯变换的一个特例！

这一组正交函数就是 1,cos \omega t,sin \omega t,cos 2\omega t,sin 2\omega t,......,cos n\omega t,sin n\omega t,.....

下面分三个部分来讲：

若 f(t) 在 \left[t_{1}, t_{2}\right] 有定义，且符合狄里赫利条件，即

1、绝对可积， \int_{t_{1}}^{t_{2}} \left| f(t) \right|dt

显然当 n=0 时的 a_{0} 和 n\ne0 时的 a_{n} ，它们的式子凑不到一块，为了用一条式子表示 a_{n} ，则用 \frac{a_{0}}{2} 代替原来的 a_{0} 。则 a_{n} = \frac{2}{t_{2}-t_{1}}\int_{t_{1}}^{t_{2}}f(t)cosn\omega_{0}tdt

此时 f(t) = \frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{+\infty}{(a_{n}cos n\omega_{0}t+b_{n}sin n\omega_{0}t)}

需要注意的是，直流分量不再是 a_{0} ，而是 \frac{a_{0}}{2}

同理，

因此，傅里叶级数的第一种形式------三角函数式

f(t) = \frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{+\infty}{(a_{n}cos n\omega_{0}t+b_{n}sin n\omega_{0}t)}

系数：a_{n} = \frac{2}{t_{2}-t_{1}}\int_{t_{1}}^{t_{2}}f(t)cosn\omega_{0}tdt b_{n} = \frac{2}{t_{2}-t_{1}}\int_{t_{1}}^{t_{2}}f(t)sinn\omega_{0}tdt

当f(t)在\left[t_{1}, t_{2}\right]有定义，且符合狄里赫利条件，就可以得到

傅里叶级数的复指数形式： f(t) = \sum_{ n = -\infty}^{+\infty}{C_{n}e^{jn\omega_{0}t}}

C_{n}=\frac{1}{t_{2}-t_{1}} \int_{t_{1}}^{t_{2}}f(t)e^{-jn\omega_{0}t}dt

那现在我们不妨思考如果 \left[t_{1}, t_{2}\right] 这个区间变成 (-\infty,+\infty) ,情况会怎么样？

先看一下 C_{n} 的变化，由于 (t_{2}-t_{1}) \rightarrow\infty ,得到 C_{n}\rightarrow0

这时可能你不服，不是还有 \int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-jn\omega_{0}t}dt 吗？不能 \int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-jn\omega_{0}t}dt 也趋向无穷大，从而让 C_{n} 趋向一个非零常数吗？下面就分析一下， 因为

\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-jn\omega_{0}t}dt=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)cosn\omega_{0}tdt-j\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)sinn\omega_{0}tdt

而 \int_{-\infty}^{+\infty}f(t)cosn\omega_{0}tdt