所谓最短路径问题是指：如果从图中某一顶点（源点）到达另一顶点（终点）的路径可能不止一条，如何找到一条路径使得沿此路径上各边的权值总和（称为路径长度）达到最小。

下面我们介绍两种比较常用的求最短路径算法：

他的算法思想是按路径长度递增的次序一步一步并入来求取，是贪心算法的一个应用，用来解决单源点到其余顶点的最短路径问题。

首先，我们引入一个辅助向量D，它的每个分量D[i]表示当前找到的从起始节点v到终点节点vi的最短路径的长度。它的初始态为：若从节点v到节点vi有弧，则D[i]为弧上的权值，否则D[i]为∞，显然，长度为D[j] = Min{D[i] | vi ∈V}的路径就是从v出发最短的一条路径，路径为(v, vi)。 那么，下一条长度次短的最短路径是哪一条呢？假设次短路径的终点是vk，则可想而知，这条路径或者是(v, vk)或者是(v, vj, vk)。它的长度或者是从v到vk的弧上的权值，或者是D[j]和从vj到vk的权值之和。

一般情况下，假设S为已知求得的最短路径的终点集合，则可证明：一下条最短路径（设其终点为x）或者是弧(v, x)或者是中间只经过S中的顶点而最后到达顶点x的路径。这可用反证法来证明，假设此路径上有一个顶点不在S中，则说明存在一条终点不在S中而长度比此路径短的路径。但是这是不可能的。因为，我们是按路径常度的递增次序来产生个最短路径的，故长度比此路径端的所有路径均已产生，他们的终点必定在S集合中，即假设不成立。

因此下一条次短的最短路径的长度是：D[j] = Min{D[i] | vi ∈ V - S}，其中，D[i]或者是弧(v, vi)的权值，或者是D[k](vk ∈ S)和弧(vk, vi)上权值之和。

假设现要求取如下示例图所示的顶点V0与其余各顶点的最短路径：

我们使用Guava的ValueGraph作为该图的数据结构，每个顶点对应一个visited变量来表示节点是在V中还是在S中，初始时S中只有顶点V0。然后从nodes集合中遍历找出从V0出发到各节点路径最短的节点，并将该节点并入S中（即修改该节点的visited属性为true），此时就找到了一个顶点的最短路径。然后，我们看看新加入的顶点是否可以到达其他顶点，并且看看通过该顶点到达其他点的路径长度是否比从V0直接到达更短,如果是，则修改这些顶点的权值(即if (D[j] + arcs[j][k] < D[k]) then D[k] = D[j] + arcs[j][k])。然后又从{V - S}中找最小值，重复上述动作，直到所有顶点都并入S中。

第一步，我们通过ValueGraphBuilder构造图的实例，并输入边集：

初始输出结果如下：

为了不破坏graph的状态，我们引入一个临时结构来记录每个节点运算的中间结果：

第二步，我们首先将起始点V0并入集合S中，因为他的最短路径已知为0：

第三步，在当前状态下找出起始点V0开始到其他节点路径最短的节点：

第四步，将最短路径的节点并入集合S中：

第五步，更新与其相关节点的最短路径中间结果：

第六步，输出起始节点V0到每个节点的最短路径以及路径的途径点信息

实例图的输出结果为：

具体Dijkstra算法的示例demo实现，请参考：https://github.com/Jarrywell/GH-Demo/blob/master/app/src/main/java/com/android/test/demo/graph/Dijkstra.java

Floyd算法是一个经典的动态规划算法。是解决任意两点间的最短路径(称为多源最短路径问题)的一种算法，可以正确处理有向图或负权的最短路径问题。（动态规划算法是通过拆分问题规模，并定义问题状态与状态的关系，使得问题能够以递推（分治）的方式去解决，最终合并各个拆分的小问题的解为整个问题的解。）

从任意节点i到任意节点j的最短路径不外乎2种可能：1)直接从节点i到节点j，2)从节点i经过若干个节点k到节点j。所以，我们假设arcs(i,j)为节点i到节点j的最短路径的距离，对于每一个节点k，我们检查arcs(i,k) + arcs(k,j) < arcs(i,j)是否成立，如果成立，证明从节点i到节点k再到节点j的路径比节点i直接到节点j的路径短，我们便设置arcs(i,j) = arcs(i,k) + arcs(k,j)，这样一来，当我们遍历完所有节点k，arcs(i,j)中记录的便是节点i到节点j的最短路径的距离。（由于动态规划算法在执行过程中，需要保存大量的临时状态（即小问题的解），因此它天生适用于用矩阵来作为其数据结构，因此在本算法中，我们将不使用Guava-Graph结构，而采用邻接矩阵来作为本例的数据结构）

假设现要求取如下示例图所示任意两点之间的最短路径：

我们以一个4x4的邻接矩阵（二维数组arcs[ ][ ]）作为图的数据结构。比如1号节点到2号节点的路径的权值为2，则arcs[1][2] = 2，2号节点无法直接到达4号节点，则arcs[2][4] = ∞(Integer.MAX_VALUE)，则可构造如下矩阵：

根据以往的经验，如果要让任意两个顶点（假设从顶点a到顶点b）之间的距离变得更短，唯一的选择就是引入第三个顶点（顶点k），并通过顶点k中转（a -> k ->b）才可能缩短顶点a到顶点b之间的距离。于是，现在的问题便分解为：求取某一个点k，使得经过中转节点k后，使得两点之间的距离可能变短，且还可能需要中转两个或者多个节点才能使两点之间的距离变短。比如图中的4号节点到3号节点（4 -> 3）的距离原本是12（arcs[4][3] = 12），如果在只通过1号节点时中转时（4 -> 1 ->3），距离将缩短为11（arcs[4][1] + arcs[1][3] = 5 + 6 = 11）。其实1号节点到3号节点也可以通过2号节点中转，使得1号到3号节点的路程缩短为5（arcs[1][2] + arcs[2][3] = 2 + 3 = 5），所以如果同时经过1号和2号两个节点中转的话，从4号节点到3号节点的距离会进一步缩短为10。于是，延伸到一般问题： 1、当不经过任意第三节点时，其最短路径为初始路径，即上图中的邻接矩阵所示。 2、当只允许经过1号节点时，求两点之间的最短路径该如何求呢？只需判断arcs[i][1]+arcs[1][j]是否比arcs[i][j]要小即可。arcs[i][j]表示的是从i号顶点到j号顶点之间的距离，arcs[i][1] + arcs[1][j]表示的是从i号顶点先到1号顶点，再从1号顶点到j号顶点的路程之和。循环遍历一遍二维数组，便可以获取在仅仅经过1号节点时的最短距离，实现如下：

具体Floyd算法的示例demo实现，请参考：https://github.com/Jarrywell/GH-Demo/blob/master/app/src/main/java/com/android/test/demo/graph/Floyd.java

《数据结构》（严蔚敏版） http://developer.51cto.com/art/201403/433874.htm