这是2021年四川省广安中考数学的抛物线压轴题。最后一问是关于等腰直角三角形的存在性问题。用一般的方法解会很困难。但是如果你知道等腰直角三角形的一个判定定理，就可以变得非常简单，解起来将会非常轻松。

如图，在平面坐标内，抛物线y=-x^2+bx+c与坐标轴相交于A, B, C三点，其中点A的坐标为(3,0), 点B的坐标为(-1,0)，连接AC, BC. 动点P从点A出发，在线段AC上以每秒√2个单位长度向点C做匀速运动；同时，动点Q从点B出发，在线段BA上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接PQ，设运动时间为t秒钟.

(1)求b, c的值；

(2)在点P, Q运动过程中, 当t为何值时, 四边形BCPQ的面积最小，最小值是多少；

(3)在线段AC上方的抛物线上是否存在点M，使△MPQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

分析：(1)可以代入点坐标列方程组去求。老黄这里选择列抛物线的交点式，然后展开，再比较同类项的系数确定两个参数。用不同的方法，可以积累更多解题的技巧。

(2)用三角形ABC的面积，减去三角形APQ的面积，就得到四边形BCPQ的面积。其中三角形ABC的面积可求得等于6个平方单位。而三角形APQ的面积可以用t表示，结果得到一个关于t的二次函数，配方化为顶点式，就可以得到所求面积的最小值了。

(3)可以利用等腰直角三角形的判定定理：“两边投影交错相等的三角形是等腰直角三角形，且这两边都是腰”。即一边的水平投影等于另一边的竖直投影。其逆定理是等腰直角三角形的性质。

第三小题只有一种情形符合题意，但却有三种情形需要分析。其中两种情形是不合理的。下面组织解题过程：

解：(1)抛物线解析式为：y=-(x+1)(x-3)=-x^2+2x+3.

∴b=2, c=3.

(2)OC=OA=3, ∴△ACQ是等腰直角三角形.

P(3-t,t), Q(t-1,0), 0≤t≤3. 【这里重点要理解P点的纵坐标是怎么来的。因为AP=根号2 t，过P点作AB的垂线段，形成一个小的等腰直角三角形，这条垂线段是腰，它是斜边AP的根号2 分之一，因此就等于t，也就是P点的纵坐标。】

S四边形BCPQ=S△ABC-S△APQ=6-(t(3-(t-1)))/2=1/2(t-2)^2+4,

∴当t=2时, 四边形BCPQ的面积最小，最小值是4.

(3)设M(m, -m2+2m+3) 0

你觉得老黄这个解法还行不？上面提到的判定定理，其实是由“一线三直角”的全等模型引伸出来的。