生活中的层流和湍流现象

今年九月，同学们都怀着对新学期的期待，踏上了返校的旅途。在返校途中，同学们会选择各式各样的交通工具。住的近的同学，可能选择汽车和火车居多；而家乡远在千里之外的同学们，可能大多数会选择高铁和飞机。

经常乘坐飞机的同学应该都有过这样的经历：飞机在高空巡航阶段时，会遇到气流，造成飞机颠簸，乘务员会在广播中不断提醒乘客要系好安全带，不要随意走动。又或者小时候和朋友们用试卷折纸飞机，却发现自己的纸飞机在空中绕了几个圈就掉下来了，哪怕自己扔出去的力气再大，也不能让纸飞机飞的更远。

对于以上的种种现象，熟悉物理的同学会马上联想到流体力学中的“湍流”现象。所谓“湍流”，从字面意思就可以看出这种流体的流速很快，用常识来解释就是：速度越快，越容易“翻车”。 流体分子间相对速度变大了，那么不同分子之间碰撞的概率就会变大，就好比我们上体育课跑步一样：

整个班的人一起慢跑，队伍将会很容易保持整齐；但若是体育老师一声令下，所有人开始加速，就必然就会有一部分同学跑得很快，同时也会有一部分体能不好的同学开始掉队。那么原来很整齐的队伍，就会变得很分散，对于人来讲，我们跑快的时候会刻意避让，对于没有大脑的流体分子（或粒子）来讲，他们就只会横冲直撞。一撞十......十撞百......数不清的分子或粒子被迫改变原来的运动状态，在我们宏观看来，流体就会出现“不听话”的部分，到处乱窜，造成“湍流”现象。

这个解释是和我们的常识相符合的，似乎就是流速越大，越容易出现湍流现象，可是同学们在使用水管时会不会发现这样的现象：当水管流速很大时，我们很容易观察到湍流现象，但是当我们保持水管流速不变，换成更小的出水龙头，似乎水流变得更稳定了，稍微调整流速，水流甚至出现了“静止”现象。

又或者我们将管中的液体更换成粘性更大的流体（如蜂蜜）哪怕流速比原先快，液柱也能保持相对稳定的状态。

这个相对稳定的状态在流体力学中就叫做“层流”，还是以体育课跑步为例子，这时候跑步的队伍十分整齐，或者是另一种方式：我们把跑的慢的同学放到内圈，跑得快的同学放到外圈。这样不同跑道上的同学哪怕速度不一样，也不会轻易发生拥挤和碰撞，队伍也不会轻易变形。再来考虑分子层面，不同流速的分子或粒子按照既定的路线流动，“邻里”之间互不打扰，这样就形成了层流现象。

仔细看一遍上述的例子，我们还能得到一个十分有用的结论： 层流和湍流在一定条件下可以相互转化。我们同时还列出了影响因素：如流体流速，管道直径和流体本身的属性（粘稠度等）。这时候我们就必须考虑，这些看起来难以结合到一起的物理学量，之间到底存不存在一个完美的作用关系，让我们可以由这些量定出层流和湍流之间的界限。

那么接下来就让我们一起，深入了解一下层流和湍流现象吧！

伯努利方程简介

在中学阶段，我们或多或少都了解过伯努利原理： 气体流速快的地方压强小，流速慢的地方压强大。在那时我们对压强和流速之间的关系并没有进行过太多深入的讨论。

1726年，丹尼尔·伯努利提出了“伯努利原理”。这个原理是在流体力学的连续介质理论方程建立之前，水力学所采用的基本原理，当时建立这个原理的基础就是能量守恒定律。对于无粘性的流体（以纯净水为例，假设纯净水的粘性可以忽略）机械能守恒的原理为：动能＋重力势能＋压力势能=常数。

实际上伯努利方程的推导过程还做了如下假定： 流体必须是不可压缩的，且流体在流动过程中必须沿着流线流动，流线间不能相交等......

在这里我们不加证明地给出伯努利方程的一般形式：

生活实验中，保证ρ，h不变相对容易，所以我们在生活中经常能看到伯努利原理的相关现象。

我们所乘坐的飞机，机翼能给飞机提供升力，也是利用了伯努利原理：飞机在滑行的过程中速度越来越快，近地表的空气相对于飞机的流速越来越快，而飞机的机翼一般是这种结构：

空气在机翼前端被迫分成了两股不同的气流，由于连续性原理（气流一般是连续的，不然飞机机翼附近会出现真空区，这是很难实现的，因为客机的速度约为500~800km/h，空气分子在真空中扩散的速度一般在2马赫即2000km/h左右， 客机的速度远远小于空气分子在真空中扩散的速度），这两股气流就会在相同时间内走过不一样的路程，上端气流走过的路程长，下端气流走过的路程短。很明显，上端气流的速度是大于下端气流的。根据伯努利原理，流速快的地方压强小，机翼上下端就产生了压强差，随着速度的加快，这个压强差越来越大，作用在飞机机翼上的压力（升力）也越来越大，最终将飞机“托”起来。

又好比物理课上老师给我们做的演示实验：为什么被气流托住的小球不会掉出来？

做一个简单的分析：在上升气流中的小球，周围靠近小球的部分气流流速快，压强小，远离小球的部分气流压强大，产生了压强差，所以小球水平方向会受到指向轴心的力，将小球“锁死”在气流中。

黏性流体及雷诺数

相信同学们已经从上面的叙述中看到了伯努利方程的简洁。当然，各位也一定注意到了，伯努利方程的推导过程和使用条件是仅限于没有粘性（现实生活中只需要流体的粘性几乎可以忽略就可以了）的层流流体。没有考虑到一个很基础的问题：那就是液体分子间多少都会进行碰撞，这个碰撞的过程存在这能量的转移和转化。说的专业一点， 就是流体在运动过程中，相邻流体之间会发生动量、能量和质量的交换和运输。

层流状态，这种交换和运输一般是靠无规则的分子运动来实现的，伯努利方程将这个过程进一步限制： 必须是粘性几乎可以忽略的流体。那么对于湍流流体，实现交换和运输的就不再是单个的分子了，也就如上文所提到的：湍流流体中会出现“到处乱窜”的分子团。所以这种交换和运输是靠着分子团的运动进行的，这种运动的复杂性，是伯努利方程所无法解释的，这时候我们就必须考虑流体本身的粘性对其运动状态的影响了。

在流体中取一假想截面， 截面两侧流体沿截面以不同速度运动，即截面两侧的流体具有沿截面的相对速度，则两侧流体间将互相作用以沿截面的切向力，较快层流体对较慢层流体施加向前的“拉力”，较慢层对较快层施加“阻力”。这一对力相当于固体间的“动摩擦力”，因它是流体内部不同部分间的波擦力，故称为 内摩擦力，又称为 粘性力。

如图所示，为粘性流体内部某一点附近的流动情况，两部分以不同的速率v1和v2运动。建立直角坐标系Oxyz，y轴与流速v1，v2的方向垂直，且用Δy表示以速率v1和v2运动的两层流体间的距离，用比值：

描述在y至y+Δy间流速对空间的平均变化率。不过，它并不能精确地反应在y点处流速对空间的变化率，所以我们需要对上式取Δy→0的极限，得：

流速沿与速度垂直方向上的变化率dv/dy称为 速度梯度，它反映了速度随空间位置变化缓急的情况。

实验证明，流体内面元两侧相互作用的粘性力F与面元面积ΔS及速率梯度成正比，即：

这个定律就是粘性定律，式中的比例系数η称为粘度。在国际单位制中，η的单位为N·s/m²，η除了与 物质材料有关外，还和温度、压强有关。液体的粘度随温度的升高而减少（比如油状物质——猪油），气体的粘度随温度的升高而增加。压强不太大时，液体的粘度变化不大，压强很高时，粘性才急剧增加。

利用粘性定律，我们可以大致推测出不同流体内流速的分布，再来看看层流和湍流的区别，为了避免分子间“乱撞”，最有效的方法就是让速度快和速度慢的分子在不同的跑道上前进。与此对立的便是湍流现象，分子“跑道”间速度的差别不大。在公式中体现的就是速度梯度dv/dy的不同。

对于层流流体，不同层流体间有较大的粘性力，这些粘性力与流体运动的方向相反，对其做负功，让 流体层减速（但是流体的 平均速率并不会越来越慢，这个慢是指垂直于管壁方向上的速率 分布呈现越来越慢，表现为 速度梯度），进而将不同速度的分子分开（这也就是为什么粘性大的流体流动的时候比较稳定），这样流体内部的速度梯度就比较大。那么湍流流体，流体间速度梯度较小，分子平均速率较大，画成图片大概就是这个样子：

我们已经基本明确了层流和湍流流体的特点，那么应该怎么区分它们呢？或者说，湍流和层流互相转化的条件是什么呢？

在这里我们就来简单介绍一下 雷诺数。

当流体速度不大时，管内呈现一条与管壁平行清晰可见的有色细丝，管内流体分层流动互不掺混，质点的轨线是与管壁平行的直线，此特征说明此时流体的运动呈现 层流状态。逐渐增加管内流体流动速度（向水箱加水），有色细丝变粗，开始出现波浪，随着管内流体速度的增加，波浪的数目和振幅逐渐增加，当速度达到一定值时，有色细丝突然破裂并扩散到全管，整个流体蒙上一层淡薄的颜色，这时管内流体各部分互相剧烈掺混，轨线紊乱如图所示，这一现象说明此时流体由 层流变为湍流状态，雷诺取不同直径的圆管及不同粘性流体，进行大量实验，发现管内流体运动呈层流或湍流主要取决于一个 无量纲参数：

ρ为流体的密度，v为管内流体的平均速度，l为圆管的直径，η为流体的粘滞系数，由于这一参数是描述流体状态的重要参数。德国物理学家索末菲在1908年为了纪念雷诺在流体力学研究的杰出贡献，建议将这一参数命名为雷诺数。流体由层流过渡到湍流的雷诺数通常称为临界雷诺数，大量的实验事实表明， 雷诺数不是一个固定的常数，它依赖进行实验的外部条件，如流体在进口时扰动的大小、圆管入口处的形状、管壁的粗糙度及装置水平程度等。通过仔细操作，雷诺获得转入湍流前雷诺数Re=12000。后来的研究者利用雷诺的装置，在实验前几天将水放入水箱，并对水箱装置采取防震措施，这样测得Re=40000。现在已经达到的最高临界雷诺数是Re=50000。这些数值通常称为上临界雷诺数，显然 上临界雷诺数值并 没有实际意义，改善实验条件可以不断地予以提高，雷诺的实验还发现，在玻璃管中的流体流动从湍流开始，当流速降低到使Re小于2000时，不管扰动多大，管内流体流动保持层流状态，这就是圆管内流体的 下临界雷诺数，它具有重要的实际意义.

由上述讨论得，雷诺数是一个描述流体运动的重要数值。为什么这样的一组由有量纲参数（ρ、v、d、η）组成的无量纲参数Re能反映流体的运动状态呢？为了研究这一问题，我们不妨抛开复杂的流体力学微分方程，仅考虑流体的质元所受的力，比较它们之间的数量级。我们以流体质元为参考系，流体质元只在三个力——净粘性力、净压力和惯性力的作用下处于平衡状态。在这里不加证明地给出计算结果：

可见，惯性力和粘性力的数量级比值恰好等于雷诺数。这个结果表明，雷诺数是力处于平衡时惯性力和粘性力之比的度量，两者的相对大小就可以来判断流体到底是哪种类型。有了雷诺数将使分析流体间题变得简单， 例如非常小的雷诺数意味着粘性力与惯性力相比较大，以至于惯性力可以忽略，这样的情况下，流体质元上的力只剩下作用在流体上净压力和阻碍形变的 净粘性力之间的平衡间题；另一方面，非常高的雷诺数意味着 净粘性力可以忽略，那么流体质元上的力只剩下作用在流体上的净压力和阻碍加速的惯性力之间的平衡问题，如图所示。

如果将惯性力和粘性力比作两只手，问题就变得十分简单了。它们的比值越大，粘性力对流体的阻碍作用就越小，反之亦然。所以雷诺数是判断流体状态的重要参数。至于雷诺数为多少的时候是湍流或者层流，学术界对此的定义不统一，在这里我们就不一一列举了。

泊肃叶公式简介

前文我们提到了伯努利方程的局限性，也简述了水平放置的圆管中粘性流体层流运动时，各层流速的分布情况。可以证明（证明放在文末选读部分），层流流速v随半径r而变化的规律是：

l表示管内被观测长度，p1和p2表示这段长度两端的压强（p1＞p2），R表示圆管的内半径。1839年哈根从实验得出：

1840年泊肃叶发现了如下公式：

这就是著名的泊肃叶公式，它和伯努利方程都用于研究水平圆管内的流动：水平圆管内不同截面上的流速相等，高度相同，由伯努利方程，各截面上的压强相等，即在水平管内维持流动不需要压强差。按泊肃叶公式，若无压强差，则流量等于0。这两个结论很明显是矛盾的，究竟哪个公式是更正确的呢？无疑是泊肃叶公式更加正确，因为流体有黏性，为了保证流体的流动必须利用压力差来克服摩擦力。这个例子也反映了伯努利方程的局限性，从这个角度上来讲，泊肃叶公式比伯努利方程前进了一步。

选读：泊肃叶公式推导

我们先推导公式

如图

首先分析水平圆管中长度为l，半径为r，厚度为dr的薄圆筒形流体的受力情况。它只作水平方向的层流运动，我们也只考虑水平方向的外力：由于各层流速不同，圆筒层内、外壁面分别受到粘性力F1和F2；前部和后部流体作用于前、后端面的压力为F3和F4.下面分别求解这四个力。

F1是较快流层作用在圆筒流体内壁面上的力，与运动方向一致，流速v随着半径r的增大而减小，所以速度梯度du/dr＜0；而内壁面积=2pi*rl。根据黏性定律：

F2是较慢流层作用在外壁面上的力，与运动方向相反。外壁面处的速度梯度

代入黏性定律，得

薄圆筒形流体两端的压强分别是p1，p2，端面积为2pi*rdr所以两端面所受压力为

由于薄圆筒形流体作匀速直线运动，所受合力为零，则

上述各式联立：

合并同类项，并略去高阶项

而微分表达式：

所以

对上式积分，得

再次积分得

代入初值条件r→0时，v是有限值，则C1=0.设水平管内径为R，在r=R处，v=0，因此

将C1，2代入则得到

现在计算通过圆管内某横截面上的流量，将垂直于圆管轴线的圆形截面分解为许多细圆环，细圆环的流量为：

总流量为：

此即泊肃叶公式。

参

考

资

料

[1]徐英勋.泊肃叶公式的推导及实验验证[J].安庆师范学院学报(自然科学版),2005(04):56-57.

[2]黄慰怀.泊肃叶公式的适用条件[J].教材通讯,1992(01):37-38.

[3]原所佳,毕世春,郭华北,鲍钢飞.雷诺数的意义[J].物理通报,1997(10):12-13.

**选读部分选自《力学（第三版）》漆安慎 杜婵英 著 包景东 修订版 高等教育出版社

**部分图片来源于网络

**开篇图片来源于视觉中国

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供稿 | 工学院融媒体中心网络文化工作室

文字 | 李正阳

编辑 | 李正阳 季怿慧

校对 | 张熠南

审核 | 任振宇 黎晓楠 李正阳

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主编 | 朱佳君返回搜狐，查看更多