对dy和Δy的浅薄理解 |
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一、导数定义
当函数y=f(x)的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时,函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在,a即为在x0处的导数,记作f'(x0)或df(x0)/dx。 二、微分定义设函数y= f(x),若自变量在点x的改变量Δx与函数相应的改变量Δy有关系Δy=A×Δx+ο(Δx),其中A为不依赖Δx的常数,ο(Δx)是Δx的高阶无穷小。则称函数f(x)在点x可微,并称AΔx为函数f(x)在点x的微分(线性部分),记作dy,即dy=A×Δx,当x= x0时,则记作 \(dy∣x=x_0\) 。 三、dy和Δy比较大小 1、题目由来以后记住了但凡遇见f(a)-f(b)就往拉格朗日中值定理靠 2、表示含义Δy是一个区间Δx上的y的差值; dy表示的是区间上Δx切线的差值 3、几何表示 4、凹凸函数比较大小(1)判别凹凸函数: (2)比较: 比较dy与Δy的大小就是要看高阶无穷小o(dx)的符号。对于一般的函数f(x),o(dx)的符号不一定,无法比较。凹函数Δy>dy,凸函数Δy<dy。 (这里的大小包含正负,指的是单纯的数值大小,而不是长度 ,比如Δy=-5,dy=-6,虽然长度上5<6,但因为需要包括正负号,所以Δy>dy) (3)案例: 四、一道定义题目 五、可导可微充分必要证明(1)可导推可微: (2)可微推可导: |
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