生存分析是一套统计方法，用来解决诸如“多长时间后，某个特定事件发生”这样的问题; 换句话说，也可以称之为事件时间分析。 这种方法被称为生存分析，是由于主要是由医学研究人员开发的，他们更感兴趣的是寻找不同群体患者的预期寿命(例如: 用药物a治疗的组群1和用药物b治疗的组群2)。这种分析不仅可以应用于传统的死亡事件，还可以应用于不同商业领域中的许多不同类型的事件。

如上所述，生存分析也称为事件时间分析。因此，从名称本身来看，事件和时间的定义对于生存分析是至关重要的。为了理解时间和事件，本文将为一些事例定义时间和事件。

（1）机械操作中的预测性维护：生存分析应用于机械部件/机器，以预测“机器能够运行的时长? ”。预测性维护是其应用之一。

（2）客户分析(客户留存)：通过生存分析，专注于那些高收益但低留存的客户，进行流失预防工作。这种分析也有助于计算客户生命时间价值。

（3）营销分析(同期群分析)：生存分析评估每个营销渠道的留存率。

（4）精算：给定人群的风险，生存分析评估该人群在特定时间范围内死亡的概率。这种分析有助于保险公司对保费进行评估。

假设有一个非负连续随机变量T，代表直到某些事件发生的时间。例如，T可能表示:

T是非负连续型随机变量，因此可以取任何非负实数值(包括0)。

对于这样的随机变量，通常使用概率密度函数和累积分布函数描述它们的分布特征。

假设该随机变量的概率密度函数f(t)和累积分布函数F(t)。 简单来说，

定义的形式：

h(t) = [(S(t) -S(t + dt))/dt] / S(t) (limit dt->0)

从上面的公式中可以看出它有两个部分

瞬时事件发生率: (s(t) - s(t + dt)) / dt；也可以看作生存曲线任意点t的斜率，或任意时刻t的死亡率。

举例来说：

假设总人口为P。在这里，s(t) - s(t + dt)，这个差值给出了dt时间内死亡人数的比例：

因此，将在dt时间内死亡的人数，除以在t时间内存活的人数，得到危险率函数作为衡量在t时刻存活的人的死亡风险的方法。

危险率函数不是密度或概率。然而，假定受试者一直存活到t时刻，可以把它看作是在(t)和(t + dt)之间一个无穷小时间周期内的失败概率。从这个意义上说，危险是一种风险的度量: 在t1和t2时刻间的危险越大，那么在这个时间间隔内失败的风险越大。

因为(s(t) - s(t + dt)) / dt = f (t)，则h(t) = f(t) / S(t)；这个函数的美妙之处在于，生存函数可以由危险率函数导出，反之亦然。在Cox比例风险模型(本文最后一部分)中，当从给定的危险率函数导出一个生存函数时，这种方法的作用将更加明显。

这些是理解生存分析所需的最重要的数学定义和公式。下面，本文将向前推进到生存曲线的估计。

在上面的数学公式中，假设了pdf函数，从而从中推导出了生存函数。由于无法得到真正的种群生存曲线，因此从数据中估计生存曲线将是最好的选择。

估计生存曲线主要有两种方法。

本文将使用一个非常小的自创数据，以了解Kaplan Meier估计曲线的创建，以及python库的使用。

示例的事件、时间和时间尺度定义:

截尾：

知识KM曲线的计算和解释：

创建KM曲线所做的计算(见下图)。在图中，Kaplan Meier估计曲线，x轴为事件发生的时间，y轴是估计的生存概率。

从t=0到t