概率分布有两种类型：离散（discrete）概率分布和连续（continuous）概率分布。

离散概率分布也称为概率质量函数（probability mass function）。离散概率分布包括：

连续概率分布也称为概率密度函数（probability density function），它们是具有连续取值（例如一条实线上的值）的函数。连续概率分布包括：

伯努利试验：

伯努利试验是在同样的条件下重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验。

即只先进行一次伯努利试验，该事件发生的概率为p，不发生的概率为1-p。这是一个最简单的分布，任何一个只有两种结果的随机现象都服从0-1分布。

最常见的例子为抛硬币

其中，期望 E = p E = p E=p ，方差 D = p ( 1 − p ) 2 + ( 1 − p ) ( 0 − p ) 2 = p ( 1 − p ) D = p(1-p)^2+(1-p)(0-p)^2 = p(1-p) D=p(1−p)2+(1−p)(0−p)2=p(1−p)

用数学符号 X~B(n,p) 来表示二项分布。即做n个两点分布的实验，其中， E = n p E = np E=np， D = n p ( 1 − p ) D = np(1-p) D=np(1−p)。而它的概率分布函数为: P ( k ) = C n k p k ( 1 − p ) n − k P(k)=C_n^kp^k(1-p)^{n-k} P(k)=Cnk​pk(1−p)n−k。

对于抛硬币的问题，做100次实验，正反面概率都为0.5，观察其概率分布函数：

结果显示如下： 观察概率分布图，可以看到，对于n = 100次实验中，有50次成功的概率（正面向上）的概率最大。

用数学符号 X~GE(p) 来表示几何分布。即在n次伯努利实验中，第k次实验才得到第一次成功的概率分布。其中： P ( k ) = ( 1 − p ) ( k − 1 ) p P(k) = (1-p)^{(k-1)}p P(k)=(1−p)(k−1)p。期望值 E = 1 / p E = 1/p E=1/p 推导方法就是利用利用错位相减法然后求lim - k ->无穷 。方差 D = ( 1 − p ) / p 2 D = (1-p)/p^2 D=(1−p)/p2 推导方法利用了 D ( x ) = E ( x ) 2 − E ( x 2 ) D(x) = E(x)^2-E(x^2) D(x)=E(x)2−E(x2)，其中 E ( x 2 ) E(x^2) E(x2)求解同上。

对于抛硬币的问题，正反面概率都为0.5，观察第k次实验才得到第一次成功的概率分布函数：

显示结果如下：

用数学符号X~P(λ) 表示泊松分布。描述单位时间/面积内，随机事件发生的次数。 P ( x = k ) = λ k k ! e ( − λ ) , k = 0 , 1 , 2 , . . . λ ; 0 P(x = k) = \frac{λ^k}{k!}e^{(-λ) } ,k = 0,1,2, ... λ ;0 P(x=k)=k!λk​e(−λ),k=0,1,2,...λ>0。泊松分布可作为二项分布的极限而得到。

一般的说，若X~B(n,p)，其中n很大，p很小，因而 np=λ 不太大时，X的分布接近于泊松分布 P(λ)。λ：单位时间/面积下，随机事件的平均发生率。期望值E = λ，方差D = λ。譬如：某一服务设施一定时间内到达的人数、一个月内机器损坏的次数等。

假设某地区，一年中发生枪击案的平均次数为2。考察一下不同次数的概率分布：

结果显示如下：

一年内的枪击案发生次数的分布如上所示。可以看到1次和2次的枪击案发生概率最高。

与二项分布对比：

可以看到这里当n=1000，p=0.1时， λ=100，泊松分布和二项分布已经很接近了。

用数学符号 X~E(λ) 表示指数分布。

指数分布的特性：无记忆性。比如灯泡的使用寿命服从指数分布，无论他已经使用多长一段时间，假设为s，只要还没有损坏，它能再使用一段时间t 的概率与一件新产品使用时间t 的概率一样。

这个证明过程简单表示： P ( s + t ∣ s ) = P ( s + t , s ) / P ( s ) = F （ s + t ） / F （ s ） = P ( t ) P(s+t| s) = P(s+t , s)/P(s) = F（s+t）/F（s）=P(t) P(s+t∣s)=P(s+t,s)/P(s)=F（s+t）/F（s）=P(t)

它的概率密度函数为：

f ( x ) = { λ e − λ x x ; 0 , λ ; 0 0 x ≤ 0 f(x)=\begin{cases} \lambda e^{-\lambda x} ; x;0,\lambda ; 0\\ 0 ; x\le0 \end{cases} f(x)={λe−λx0​x>0,λ>0x≤0​

期望值 E = 1 / λ E=1/λ E=1/λ，方差 D = 1 / λ 2 D=1/λ^2 D=1/λ2。