1.1.1 正弦定理 高中数学       人教A版2003课标版

一、教材分析

正弦定理是高中新教材人教B版必修⑤第一章1.1.1的内容,是使学生在已有知识的基础上，通过对三角形边角关系的研究，发现并掌握三角形中的边长与角度之间的数量关系。提出两个实际问题，并指出解决问题的关键在于研究三角形中的边、角关系，从而引导学生产生探索愿望，激发学生学习的兴趣。在教学过程中，要引导学生自主探究三角形的边角关系，先由特殊情况发现结论，再对一般三角形进行推导证明,并引导学生分析正弦定理可以解决两类关于解三角形的问题：

（1）已知两角和一边，解三角形：

（2）已知两边和其中一边的对角，解三角形。

二、学情分析

本节授课对象是高一学生，是在学生学习了必修④基本初等函数Ⅱ和三角恒等变换的基础上，由实际问题出发探索研究三角形边角关系，得出正弦定理。高一学生对生产生活问题比较感兴趣，由实际问题出发可以激起学生的学习兴趣，使学生产生探索研究的愿望。

根据上述教材结构与内容分析，立足学生的认知水平 ，制定如下教学目标和重、难点。

三、教学目标

1.知识与技能：

(1)引导学生发现正弦定理的内容，探索证明正弦定理的方法；

(2)简单运用正弦定理解三角形、初步解决某些与测量和几何计算有关的实际问题

2.过程与方法：

通过对定理的探究，培养学生发现数学规律的思维方法与能力；通过对定理的证明和应用，培养学生独立解决问题的能力和体会分类讨论和数形结合的思想方法.

3.情感、态度与价值观：

(1)通过对三角形边角关系的探究学习，经历数学探究活动的过程，体会由特殊到一般再由一般到特殊的认识事物规律，培养探索精神和创新意识；

(2)通过本节学习和运用实践，体会数学的科学价值、应用价值，学习用数学的思维方式解决问题、认识世界,进而领会数学的人文价值、美学价值，不断提高自身的文化修养.

四、教学重点、难点

教学重点： 1.正弦定理的推导. 2.正弦定理的运用

教学难点：1.正弦定理的推导. 2.正弦定理的运用.

五、学法与教法

学法与教学用具

学法：开展“动脑想、严格证、多交流、勤设问”的研讨式学习方法，逐渐培 养学生“会观察”、 “会类比”、“会分析”、“会论证”的能力。

教学用具：电脑、多媒体。

教法：运用“发现问题—自主探究—尝试指导—合作交流”的教学模式

整堂课围绕“一切为了学生发展”的教学原则，突出：①动——师生互动、共同探索；②导——教师指导、循序渐进。

（1）新课引入——提出问题, 激发学生的求知欲。

（2）掌握正弦定理的推导证明——分类讨论，数形结合，动脑思考,由特殊到一般，组织学生自主探索,获得正弦定理及证明过程。

（3）例题处理——始终从问题出发，层层设疑，让他们在探索中自得知识。

（4）巩固练习——深化对正弦定理的理解，并结合2009年辽宁数学高考理科17题文科18题，巩固新知。

六、教学过程

教学环节

教学内容

师生互动

设计意图

创提

设出

情问

境题

（1）展示辽阳白塔、千山、太子河图片，引导学生发现问题：如何能够实现不登山而知山高，不过河而知河宽；

（2）创设情境提出问题：某人站在太子河岸边点B位置，发现对岸A处有一个宣传板，如何能够求出A、B两点间的距离？（备用工具：测角仪和皮尺）

引导学生理清题意，研究设计方案，并画出图形，探索解决问题的方法．

启发学生发现问题实质是：已知△ABC中∠B、∠C和BC长度，求AB距离.即：已知三角形中两角及其夹边，求其它边．

创设情境，提出问题，激发学生兴趣引出课题，探究三角形的边（三边）、角（三角）关系．

教学环节

教学内容

师生互动

设计意图

探提

寻出

特猜

例想

回顾直角三角形中边角关系.如图：

引导学生寻求联系，发现规律深化学生对直角三角形边角关系的理解.

利用c边相同，寻求形式的和谐统一，即：

在Rt△ABC中

思考：在斜三角中，上式关系是否成立？

引导学生经历经历由特殊到一般的发现过程

逻证

辑明

推猜

理想

正弦定理及其推导

在锐角三角形中

作CD AB于D，有

在钝角三角形中

引导学生自主探究对于一般的三角形 是否仍然成立

分类讨论

（１）在锐角三角形中，等式是否成立？

（２）在钝角三角形中，等式是否成立？

（３）如何证明？

让学生分组讨论自主探究，教师注意巡视指导，引导学生思考

引导学生通过自主探究、合作交流寻求问题结论和解决办法

教学环节

教学内容

师生互动

设计意图

学

习

新

知

作CD AB于D，有

综上：得：

正弦定理：在一个三角形中，各边的长和它所对角的正弦的比相等，即

定概

理念

形深

成化

（１）正弦定理展现了三角形边角关系的和谐美和对称美；

（２）解三角形：　一般地，我们把三角形的三个角和它的对边分别叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.

（３）思考：直接应用正弦定理至少需要已知三角形中的几个元素才能解三角形？

引导学生充分理解正弦定理，掌握正弦定理的结构特征，启发学生思考正弦定理可以那些解决解三角问题．

引导学生体会正弦定理所体现的美学价值，挖掘正弦定理的应用．

范举

例一

教反

学三

（１）正弦定理可以用于解决已知两角和任意一边求另两边和一角的问题．

例１：

（２）正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角，求其他边和角的问题..

例2：

例１由学生给出条件

结合两道例题，引导学生总结：(1)已知两角一边，解三角形，解的情况唯一；

(2)已知两边及一边对角，解三角形，何时有一解？两解？何时无法构成三角形？

师生共同总结．

进一步深化对正弦定理的认识和理解，掌握正弦定理在解三角形问题中的应用，并学会部解三角形通过作图法也能判定解的情况．

教学环节

教学内容

师生互动

设计意图

变式训练：

利用作图法总结已知两边及一边对角解三角形时解的情况

学解

以决

致引

用例

应用正弦定理解决提出的求河岸两侧两点间距离问题，并进一步求出此段太子河宽度问题．

学生给出解决方法

首尾呼应，解决之前提出问题，并进一步解决测河宽问题，同理也可解决测山高问题，学以致用．

课直

堂击

练高

习考

（２００９）辽宁高考理科数学第１７题（文数１８题）

学生动脑思考，教师指导.

与时俱进，直击高考，使学生进一步体会正弦定理的应用．

归

纳

小

结

（１）正弦定理：

（２）正弦定理的运用

（３）思想和方法

师生共同总结本节课收获.

引导学生学会自己总结，让学生进一步（回顾）体会知识的形成、发展、完善的过程.

课

后

作

业

(2)你还能用其它方法证明正弦定理吗？有兴趣的同学可以在课后继续进行讨论．

学生课后完成.

巩固深化：进一步培养自主探究能力．

板书设计

附后

板书设计清楚整洁,便于突出知识目标

七、评价分析

这堂课由实际问题出发，引导学生探索研究三角形中边角关系，展示了一个完整的数学探究过程。提出问题、发现规律、推到证明，定理应用，让学生经历了知识再发现的过程，促进了个性化学习。在教学过程中，使学生体会认识事物由特殊到一般，再由一般到特殊的规律，体会分类讨论、数形结合的数学思想方法，并提高运用所学知识解决实际问题的能力。通过学习和运用，进一步使学生体会数学的科学价值、应用价值，进而领会数学的人文价值、美学价值，不断提高自身的文化素养。

下

1.1.1 正弦定理

1.1.1 正弦定理

一、教材分析

正弦定理是高中新教材人教B版必修⑤第一章1.1.1的内容,是使学生在已有知识的基础上，通过对三角形边角关系的研究，发现并掌握三角形中的边长与角度之间的数量关系。提出两个实际问题，并指出解决问题的关键在于研究三角形中的边、角关系，从而引导学生产生探索愿望，激发学生学习的兴趣。在教学过程中，要引导学生自主探究三角形的边角关系，先由特殊情况发现结论，再对一般三角形进行推导证明,并引导学生分析正弦定理可以解决两类关于解三角形的问题：

（1）已知两角和一边，解三角形：

（2）已知两边和其中一边的对角，解三角形。

二、学情分析

本节授课对象是高一学生，是在学生学习了必修④基本初等函数Ⅱ和三角恒等变换的基础上，由实际问题出发探索研究三角形边角关系，得出正弦定理。高一学生对生产生活问题比较感兴趣，由实际问题出发可以激起学生的学习兴趣，使学生产生探索研究的愿望。

根据上述教材结构与内容分析，立足学生的认知水平 ，制定如下教学目标和重、难点。

三、教学目标

1.知识与技能：

(1)引导学生发现正弦定理的内容，探索证明正弦定理的方法；

(2)简单运用正弦定理解三角形、初步解决某些与测量和几何计算有关的实际问题

2.过程与方法：

通过对定理的探究，培养学生发现数学规律的思维方法与能力；通过对定理的证明和应用，培养学生独立解决问题的能力和体会分类讨论和数形结合的思想方法.

3.情感、态度与价值观：

(1)通过对三角形边角关系的探究学习，经历数学探究活动的过程，体会由特殊到一般再由一般到特殊的认识事物规律，培养探索精神和创新意识；

(2)通过本节学习和运用实践，体会数学的科学价值、应用价值，学习用数学的思维方式解决问题、认识世界,进而领会数学的人文价值、美学价值，不断提高自身的文化修养.

四、教学重点、难点

教学重点： 1.正弦定理的推导. 2.正弦定理的运用

教学难点：1.正弦定理的推导. 2.正弦定理的运用.

五、学法与教法

学法与教学用具

学法：开展“动脑想、严格证、多交流、勤设问”的研讨式学习方法，逐渐培 养学生“会观察”、 “会类比”、“会分析”、“会论证”的能力。

教学用具：电脑、多媒体。

教法：运用“发现问题—自主探究—尝试指导—合作交流”的教学模式

整堂课围绕“一切为了学生发展”的教学原则，突出：①动——师生互动、共同探索；②导——教师指导、循序渐进。

（1）新课引入——提出问题, 激发学生的求知欲。

（2）掌握正弦定理的推导证明——分类讨论，数形结合，动脑思考,由特殊到一般，组织学生自主探索,获得正弦定理及证明过程。

（3）例题处理——始终从问题出发，层层设疑，让他们在探索中自得知识。

（4）巩固练习——深化对正弦定理的理解，并结合2009年辽宁数学高考理科17题文科18题，巩固新知。

六、教学过程

教学环节

教学内容

师生互动

设计意图

创提

设出

情问

境题

（1）展示辽阳白塔、千山、太子河图片，引导学生发现问题：如何能够实现不登山而知山高，不过河而知河宽；

（2）创设情境提出问题：某人站在太子河岸边点B位置，发现对岸A处有一个宣传板，如何能够求出A、B两点间的距离？（备用工具：测角仪和皮尺）

引导学生理清题意，研究设计方案，并画出图形，探索解决问题的方法．

启发学生发现问题实质是：已知△ABC中∠B、∠C和BC长度，求AB距离.即：已知三角形中两角及其夹边，求其它边．

创设情境，提出问题，激发学生兴趣引出课题，探究三角形的边（三边）、角（三角）关系．

教学环节

教学内容

师生互动

设计意图

探提

寻出

特猜

例想

回顾直角三角形中边角关系.如图：

引导学生寻求联系，发现规律深化学生对直角三角形边角关系的理解.

利用c边相同，寻求形式的和谐统一，即：

在Rt△ABC中

思考：在斜三角中，上式关系是否成立？

引导学生经历经历由特殊到一般的发现过程

逻证

辑明

推猜

理想

正弦定理及其推导

在锐角三角形中

作CD AB于D，有

在钝角三角形中

引导学生自主探究对于一般的三角形 是否仍然成立

分类讨论

（１）在锐角三角形中，等式是否成立？

（２）在钝角三角形中，等式是否成立？

（３）如何证明？

让学生分组讨论自主探究，教师注意巡视指导，引导学生思考

引导学生通过自主探究、合作交流寻求问题结论和解决办法

教学环节

教学内容

师生互动

设计意图

学

习

新

知

作CD AB于D，有

综上：得：

正弦定理：在一个三角形中，各边的长和它所对角的正弦的比相等，即

定概

理念

形深

成化

（１）正弦定理展现了三角形边角关系的和谐美和对称美；

（２）解三角形：　一般地，我们把三角形的三个角和它的对边分别叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.

（３）思考：直接应用正弦定理至少需要已知三角形中的几个元素才能解三角形？

引导学生充分理解正弦定理，掌握正弦定理的结构特征，启发学生思考正弦定理可以那些解决解三角问题．

引导学生体会正弦定理所体现的美学价值，挖掘正弦定理的应用．

范举

例一

教反

学三

（１）正弦定理可以用于解决已知两角和任意一边求另两边和一角的问题．

例１：

（２）正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角，求其他边和角的问题..

例2：

例１由学生给出条件

结合两道例题，引导学生总结：(1)已知两角一边，解三角形，解的情况唯一；

(2)已知两边及一边对角，解三角形，何时有一解？两解？何时无法构成三角形？

师生共同总结．

进一步深化对正弦定理的认识和理解，掌握正弦定理在解三角形问题中的应用，并学会部解三角形通过作图法也能判定解的情况．

教学环节

教学内容

师生互动

设计意图

变式训练：

利用作图法总结已知两边及一边对角解三角形时解的情况

学解

以决

致引

用例

应用正弦定理解决提出的求河岸两侧两点间距离问题，并进一步求出此段太子河宽度问题．

学生给出解决方法

首尾呼应，解决之前提出问题，并进一步解决测河宽问题，同理也可解决测山高问题，学以致用．

课直

堂击

练高

习考

（２００９）辽宁高考理科数学第１７题（文数１８题）

学生动脑思考，教师指导.

与时俱进，直击高考，使学生进一步体会正弦定理的应用．

归

纳

小

结

（１）正弦定理：

（２）正弦定理的运用

（３）思想和方法

师生共同总结本节课收获.

引导学生学会自己总结，让学生进一步（回顾）体会知识的形成、发展、完善的过程.

课

后

作

业

(2)你还能用其它方法证明正弦定理吗？有兴趣的同学可以在课后继续进行讨论．

学生课后完成.

巩固深化：进一步培养自主探究能力．

板书设计

附后

板书设计清楚整洁,便于突出知识目标

七、评价分析

这堂课由实际问题出发，引导学生探索研究三角形中边角关系，展示了一个完整的数学探究过程。提出问题、发现规律、推到证明，定理应用，让学生经历了知识再发现的过程，促进了个性化学习。在教学过程中，使学生体会认识事物由特殊到一般，再由一般到特殊的规律，体会分类讨论、数形结合的数学思想方法，并提高运用所学知识解决实际问题的能力。通过学习和运用，进一步使学生体会数学的科学价值、应用价值，进而领会数学的人文价值、美学价值，不断提高自身的文化素养。

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