1.1.2　余弦定理 高中数学       人教A版2003课标版

余弦定理是初中“勾股定理”内容的直接延拓，是解三角形这一章知识的一个重要定理，揭示了任意三角形边角之间的关系，是解三角形的重要工具，余弦定理与平面几何知识、向量、三角形有着密切的联系。因此，做好“余弦定理”的教学，不仅能复习巩固旧知识，使学生掌握新的有用的知识，体会联系、发展等辩证观点，而且能培养学生的应用意识和实践操作能力，以及提出问题、解决问题等研究性学习的能力。

这节课是在学生已经学习了正弦定理及有关知识的基础上，转入对余弦定理的学习，此时学生已经熟悉了探索新知识的数学教学过程，具备了一定的分析能力。

由于余弦定理有较强的实践性，所以在设计本节课时，创设了一些数学情景，让学生从已有的几何知识出发，自己去分析、探索和证明。激发学生浓厚的学习兴趣，提高学生的创新思维能力。

根据当前学生的学习实际和本节课的内容特点，我采用的是“问题教学法”，精心设计教学内容，提出探究性问题，经过启发、引导，从不同的途径让学生自己去分析、探索，从而找到解决问题的方法。

1、知识与技能：

理解并掌握余弦定理的内容，会用向量法证明余弦定理，能用余弦定理解决一些简单的三角度量问题

2．过程与方法：

         通过实例，体会余弦定理的内容，经历并体验使用余弦定理求解三角形的过程与方法，发展用数学工具解答现实生活问题的能力。

3．情感、态度与价值观：

探索利用直观图形理解抽象概念，体会“数形结合”的思想。通过余弦定理的应用，感受余弦定理在解决现实生活问题中的意义。

教学重点：

   通过对三角形边角关系的探索，证明余弦定理及其推论，并能应用它们解三角形及求解有关问题。

教学难点：

余弦定理的灵活应用

1、复习：已知A= ,C= ,b=16解三角形。（可以让学生板练 ）

2、若将条件C= 改成c=8如何解三角形？

设计意图：把研究余弦定理的问题和平面几何中三角形全等判定的方法建立联系，沟通新旧知识的联系，引导学生体会量化的思想和观点。

师生活动：用数学符号来表达“已知三角形的两边及其夹角解三角形”：已知△ABC，BC=a,AC=b,和角C，求解c, B,A

引出课题：余弦定理

3、余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。

（可以让学生自己总结，教师补充完整）

1、例1：在 △ABC中，已知b=2cm,c=2cm,A=1200,解三角形。

  教师分析、点拨并板书证明过程

总结：已知三角形的两边和它们的夹角解三角形，基本思路是先由余弦定理求出第三边，再由正弦定理求其余各角。

变式引申：在△ABC中，已知b=5,c=5 ,A=300,解三角形。

2、探究：余弦定理是关于三角形三边和一个角的一个关系式，把这个关系式作某些变形，是否可以解决其他类型的解三角形问题？

设计意图：（1）引入余弦定理的推论（2）对一个数学式子作某种变形，从而得到解决其他类型的数学问题，这是一种基本的研究问题的方法。

师生活动：对余弦定理作某些变形，研究变形后所得关系式的应用。因此应把重点引导到余弦定理的推论上去，即讨论已知三边求角的问题。

引入余弦定理的推论：cosA=  ,                          

cosB= , cosC=

公式作用：（1）、已知三角形三边，求三角。

         （2）、若A为直角，则cosA=0，从而b2+c2=a2

               若A为锐角，则 cosA>0, 从而b2+c2>a2

              若A为钝角，则 cosA﹤0, 从而b2+c2﹤a2

先让学生自己分析、思索，老师进行引导、启发和补充，最后师生一起求解。

总结：对于已知三角形的三边求三角这种类型，解三角形的基本思路是先由余弦定理求出两角，再用三角形内角和定理求出第三角。（可以先让学生归纳总结，老师补充）

变式引申：在△ABC中，a:b:c=2: :( +1),求A、B、C。

让学生板练，师生共同评判

3、三角形形状的判定：

例3：在△ABC中，acosA=bcosB,试确定此三角形的形状。

 （教师引导学生分析、思考，运用多种方法求解）

求解思路：判断三角形的形状可有两种思路，一是利用边之间的关系来判定，在运算过程中，尽可能地把角的关系化为边的关系；二是利用角之间的关系来判定，将边化成角。

变式引申：在△ABC中，若（a+b+c）(b+c-a)=3bc,并且sinA=2sinBcosC,判断△ABC的形状。

让学生板练，发现问题进行纠正。

1、已知在△ABC中，b=8,c=3,A=600,则a=(   )

A  2     B  4     C  7     D 9

2、在△ABC中，若a= +1,b= -1,c= ,则△ABC的最大角的度数为（  ）  A 1200  B 900  C 600 D 1500

3、在△ABC中，a:b:c=1: :2,则A：B：C=（   ）

 A 1：2：3  B 2：3：1 C 1：3：2  D 3：1：2

4、在不等边△ABC中，a是最大的边，若a20, 从而b2+c2>a2

              若A为钝角，则 cosA﹤0, 从而b2+c2﹤a2

先让学生自己分析、思索，老师进行引导、启发和补充，最后师生一起求解。

总结：对于已知三角形的三边求三角这种类型，解三角形的基本思路是先由余弦定理求出两角，再用三角形内角和定理求出第三角。（可以先让学生归纳总结，老师补充）

变式引申：在△ABC中，a:b:c=2: :( +1),求A、B、C。

让学生板练，师生共同评判

3、三角形形状的判定：

例3：在△ABC中，acosA=bcosB,试确定此三角形的形状。

 （教师引导学生分析、思考，运用多种方法求解）

求解思路：判断三角形的形状可有两种思路，一是利用边之间的关系来判定，在运算过程中，尽可能地把角的关系化为边的关系；二是利用角之间的关系来判定，将边化成角。

变式引申：在△ABC中，若（a+b+c）(b+c-a)=3bc,并且sinA=2sinBcosC,判断△ABC的形状。

让学生板练，发现问题进行纠正。

1、已知在△ABC中，b=8,c=3,A=600,则a=(   )

A  2     B  4     C  7     D 9

2、在△ABC中，若a= +1,b= -1,c= ,则△ABC的最大角的度数为（  ）  A 1200  B 900  C 600 D 1500

3、在△ABC中，a:b:c=1: :2,则A：B：C=（   ）

 A 1：2：3  B 2：3：1 C 1：3：2  D 3：1：2

4、在不等边△ABC中，a是最大的边，若a2