希望快速了解或快速回顧高中數學的讀者可以只看基礎知識部分。其餘部分是為需要參加學科考試或需要一定知識提升的讀者準備的。

和角公式與差角公式是推導大量其它三角函數公式的基石。在證明和角公式與差角公式時，我們參照了中國大陸2003年版《全日制普通高級中學教科書·數學》的思路。這種證明不複雜，但是不算特別簡明。在向量章節中學習了向量的點積和叉積後，和角公式與差角公式的幾何意義會變得非常自然。

在後續的微積分課程中，利用復指數的歐拉恆等式也可以快速導出本節的和角公式和差角公式。但是歐拉恆等式的常見證明本身也是依賴許多三角函數公式的，因此並不適合作為和角公式和差角公式的證明方法，否則容易導致循環論證。

閱讀本節內容只需要掌握弧度制與任意角的三角函數值章節的知識。

大多數情況下，掌握和角公式與差角公式的正向與逆向使用即可。它們本身的證明步驟比較繁瑣，不必作為學習重點，考試很少考它們的由來證明。

在高中會作適當了解的雙曲函數和後續微積分課程中的雅可比橢圓函數也有類似的兩個變量的加法與減法公式。

在平面直角坐標系的單位圓上取如下4個點： P 1 = ( 1 , 0 ) , P 2 = ( cos ⁡ ( a + b ) , sin ⁡ ( a + b ) ) , P 3 = ( cos ⁡ a , cos ⁡ b ) , P 4 = ( cos ⁡ ( − b ) , sin ⁡ ( − b ) ) {\displaystyle P_{1}=(1,0),P_{2}=(\cos(a+b),\sin(a+b)),P_{3}=(\cos a,\cos b),P_{4}=(\cos(-b),\sin(-b))} 這樣取點的動機是我們希望設法用角a和角b的正弦值和餘弦值的組合表示出這兩角之和或兩角之差的正餘弦值。

由兩點間的距離公式（畢氏定理的推論）可知： | P 1 P 2 | 2 = ( cos ⁡ ( a + b ) − 1 ) 2 + sin 2 ⁡ ( a + b ) | P 3 P 4 | 2 = ( cos ⁡ ( − b ) − cos ⁡ a ) 2 + ( sin ⁡ ( − b ) − sin ⁡ a ) 2 {\displaystyle {\begin{array}{l}|P_{1}P_{2}|^{2}=(\cos(a+b)-1)^{2}+\sin ^{2}(a+b)\\|P_{3}P_{4}|^{2}=(\cos(-b)-\cos a)^{2}+(\sin(-b)-\sin a)^{2}\end{array}}}

記坐標系的原點為O，因為 △ P 1 O P 2 {\displaystyle \triangle P_{1}OP_{2}} 與 △ P 3 O P 4 {\displaystyle \triangle P_{3}OP_{4}} 全等，所以有 | P 1 P 2 | 2 = | P 3 P 4 | 2 {\displaystyle |P_{1}P_{2}|^{2}=|P_{3}P_{4}|^{2}} ，即： ( cos ⁡ ( a + b ) − 1 ) 2 + sin 2 ⁡ ( a + b ) = ( cos ⁡ ( − b ) − cos ⁡ a ) 2 + ( sin ⁡ ( − b ) − sin ⁡ a ) 2 ⇒ cos 2 ⁡ ( a + b ) − 2 cos ⁡ ( a + b ) + 1 + sin 2 ⁡ ( a + b ) = cos 2 ⁡ ( − b ) − 2 cos ⁡ ( − b ) cos ⁡ a + cos 2 ⁡ a + sin 2 ⁡ ( − b ) − 2 sin ⁡ ( − b ) sin ⁡ a + sin 2 ⁡ a ⇒ ( cos 2 ⁡ ( a + b ) + sin 2 ⁡ ( a + b ) ) − 2 cos ⁡ ( a + b ) + 1 = cos 2 ⁡ b − 2 cos ⁡ b cos ⁡ a + cos 2 ⁡ a + sin 2 ⁡ b + 2 sin ⁡ b sin ⁡ a + sin 2 ⁡ a ⇒ 1 − 2 cos ⁡ ( a + b ) + 1 = ( sin 2 ⁡ b + cos 2 ⁡ b ) + ( sin 2 ⁡ a + cos 2 ⁡ a ) − 2 cos ⁡ b cos ⁡ a + 2 sin ⁡ b sin ⁡ a ⇒ 2 − 2 cos ⁡ ( a + b ) = 1 + 1 − 2 cos ⁡ b cos ⁡ a + 2 sin ⁡ b sin ⁡ a ⇒ − 2 cos ⁡ ( a + b ) = − 2 cos ⁡ b cos ⁡ a + 2 sin ⁡ b sin ⁡ a ⇒ cos ⁡ ( a + b ) = cos ⁡ a cos ⁡ b − sin ⁡ a sin ⁡ b {\displaystyle {\begin{array}{l}(\cos(a+b)-1)^{2}+\sin ^{2}(a+b)=(\cos(-b)-\cos a)^{2}+(\sin(-b)-\sin a)^{2}\\\Rightarrow \cos ^{2}(a+b)-2\cos(a+b)+1+\sin ^{2}(a+b)=\cos ^{2}(-b)-2\cos(-b)\cos a+\cos ^{2}a+\sin ^{2}(-b)-2\sin(-b)\sin a+\sin ^{2}a\\\Rightarrow (\cos ^{2}(a+b)+\sin ^{2}(a+b))-2\cos(a+b)+1=\cos ^{2}b-2\cos b\cos a+\cos ^{2}a+\sin ^{2}b+2\sin b\sin a+\sin ^{2}a\\\Rightarrow 1-2\cos(a+b)+1=(\sin ^{2}b+\cos ^{2}b)+(\sin ^{2}a+\cos ^{2}a)-2\cos b\cos a+2\sin b\sin a\\\Rightarrow 2-2\cos(a+b)=1+1-2\cos b\cos a+2\sin b\sin a\\\Rightarrow -2\cos(a+b)=-2\cos b\cos a+2\sin b\sin a\\\Rightarrow \cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b\end{array}}} 最後一步出現的式子叫做兩個任意角之差的餘弦值公式（subtraction formula for cosine of two arbitrary angles或difference formula for cosine of two arbitrary angles），它對於任意的角a和b都成立。上式演算的核心思路就是打開平方，並將相似的正、餘弦的平方項整理到一起，以便利用對任意角始終成立的畢氏三角學恆等式 sin 2 ⁡ x + cos 2 ⁡ x = 1 {\displaystyle \sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1} 化簡結果。

提示：三角函數記號有一些常見的簡寫規則需要注意：(1) sin ⁡ a x {\displaystyle \sin ax} 一般是指 sin ⁡ ( a x ) {\displaystyle \sin(ax)} ， sin ⁡ a cos ⁡ b {\displaystyle \sin a\cos b} 一般是指 ( sin ⁡ a ) ⋅ ( cos ⁡ b ) {\displaystyle (\sin a)\cdot (\cos b)} ， sin 2 ⁡ x {\displaystyle \sin ^{2}x} 一般是指 ( sin ⁡ x ) 2 {\displaystyle (\sin x)^{2}} ， sin ⁡ x 2 {\displaystyle \sin x^{2}} 一般是指 sin ⁡ ( x 2 ) {\displaystyle \sin(x^{2})} ；(2)當需要表達2個角之和的三角函數值，或一個角的負倍數的三角函數值時，函數的括號不能省略。例如 sin ⁡ ( − a ) {\displaystyle \sin(-a)} 不能省略括號， sin ⁡ ( a + b ) {\displaystyle \sin(a+b)} 省略括號後含義將會完全不同。

在上述公式中用-b替換b，就得到兩個任意角之和的餘弦值公式（addition formula for cosine of two arbitrary angles或sum formula for cosine of two arbitrary angles）： cos ⁡ ( a − b ) = cos ⁡ a cos ⁡ ( − b ) − sin ⁡ a sin ⁡ ( − b ) = cos ⁡ a cos ⁡ b + sin ⁡ a sin ⁡ b {\displaystyle \cos(a-b)=\cos a\cos(-b)-\sin a\sin(-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b}

繼續使用以上結論，還可以得到2個誘導公式：

提示：雖然這2個公式在初中/國中階段初學三角比例時遇到過，但是此前並未將它們推廣到對任意角都適用的情形。

利用上述的餘弦的差角公式和2個誘導公式，可得兩個任意角之和的正弦值公式（addition formula for sine of two arbitrary angles或sum formula for sine of two arbitrary angles）： sin ⁡ ( a + b ) = cos ⁡ ( π 2 − ( a + b ) ) = cos ⁡ ( ( π 2 − a ) − b ) = cos ⁡ ( π 2 − a ) cos ⁡ b + sin ⁡ ( π 2 − a ) sin ⁡ b = sin ⁡ a cos ⁡ b + cos ⁡ a sin ⁡ b {\displaystyle {\begin{aligned}\sin(a+b)=\cos({\frac {\pi }{2}}-(a+b))=\cos(({\frac {\pi }{2}}-a)-b)=\cos({\frac {\pi }{2}}-a)\cos b+\sin({\frac {\pi }{2}}-a)\sin b=\sin a\cos b+\cos a\sin b\end{aligned}}} 再次用-b替換上述公式中的b，同樣可得兩個任意角之差的正弦值公式（subtraction formula for sine of two arbitrary angles或difference formula for sine of two arbitrary angles）。

最後，我們推導兩角和與差的正切公式（sum and difference formulas for tangent或tangent sum and difference Formulas）[1]： tan ⁡ ( α ± β ) = sin ⁡ ( α ± β ) cos ⁡ ( α ± β ) = sin ⁡ α cos ⁡ β ± cos ⁡ α sin ⁡ β cos ⁡ α cos ⁡ β ± sin ⁡ α sin ⁡ β = sin ⁡ α cos ⁡ β cos ⁡ α cos ⁡ β ± cos ⁡ α sin ⁡ β cos ⁡ α cos ⁡ β cos ⁡ α cos ⁡ β cos ⁡ α cos ⁡ β ± sin ⁡ α sin ⁡ β cos ⁡ α cos ⁡ β = sin ⁡ α cos ⁡ α ± sin ⁡ β cos ⁡ β 1 ± sin ⁡ α cos ⁡ α ⋅ sin ⁡ β cos ⁡ β = tan ⁡ α ± tan ⁡ β 1 ∓ tan ⁡ α tan ⁡ β {\displaystyle \tan(\alpha \pm \beta )={\frac {\sin(\alpha \pm \beta )}{\cos(\alpha \pm \beta )}}={\frac {\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta }{\cos \alpha \cos \beta \pm \sin \alpha \sin \beta }}={\frac {{\frac {\sin \alpha \cos \beta }{\cos \alpha \cos \beta }}\pm {\frac {\cos \alpha \sin \beta }{\cos \alpha \cos \beta }}}{{\frac {\cos \alpha \cos \beta }{\cos \alpha \cos \beta }}\pm {\frac {\sin \alpha \sin \beta }{\cos \alpha \cos \beta }}}}={\frac {{\frac {\sin \alpha }{\cos \alpha }}\pm {\frac {\sin \beta }{\cos \beta }}}{1\pm {\frac {\sin \alpha }{\cos \alpha }}\cdot {\frac {\sin \beta }{\cos \beta }}}}={\frac {\tan \alpha \pm \tan \beta }{1\mp \tan \alpha \tan \beta }}}

我們將剛才導出的有關和與差的重要三角函數公式如下：

正弦函數、餘弦函數、正切函數的和角公式與差角公式列舉如下[2]：

其中的2個角度 α {\displaystyle \alpha } 和 β {\displaystyle \beta } 都可以是任意大小的角。這些兩角的和與差的三角函數公式也統稱為和差恆等式（sum and difference identities）。

2個推廣到任意角的公式：

本節最基礎的是給角求值、給值求角、給值求值這3類問題。由於正弦與餘弦的公式形式相似，所以我們將正/餘弦的和/差角公式練習題單獨放在一個小節，正切函數的和/差角公式也單獨放在一個小節。

相關例題1： 計算或化簡下列各式：

參考解答： (1) sin ⁡ 75 ∘ + cos ⁡ 5 π 12 = sin ⁡ 75 ∘ + cos ⁡ 75 ∘ = sin ⁡ ( 45 ∘ + 30 ∘ ) + cos ⁡ ( 45 ∘ + 30 ∘ ) = ( sin ⁡ 45 ∘ cos ⁡ 30 ∘ + cos ⁡ 45 ∘ sin ⁡ 30 ∘ ) + ( cos ⁡ 45 ∘ cos ⁡ 30 ∘ − sin ⁡ 45 ∘ sin ⁡ 30 ∘ ) = ( 2 2 ⋅ 3 2 + 2 2 ⋅ 1 2 ) + ( 2 2 ⋅ 3 2 − 2 2 ⋅ 1 2 ) = ( 6 4 + 2 4 ) + ( 6 4 − 2 4 ) = 6 + 2 4 + 6 − 2 4 = 2 6 4 = 6 2 {\displaystyle {\begin{array}{l}\sin 75^{\circ }+\cos {\frac {5\pi }{12}}\\=\sin 75^{\circ }+\cos 75^{\circ }\\=\sin(45^{\circ }+30^{\circ })+\cos(45^{\circ }+30^{\circ })\\=(\sin 45^{\circ }\cos 30^{\circ }+\cos 45^{\circ }\sin 30^{\circ })+(\cos 45^{\circ }\cos 30^{\circ }-\sin 45^{\circ }\sin 30^{\circ })\\=({\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {3}}{2}}+{\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {1}{2}})+({\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {3}}{2}}-{\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {1}{2}})\\=({\frac {\sqrt {6}}{4}}+{\frac {\sqrt {2}}{4}})+({\frac {\sqrt {6}}{4}}-{\frac {\sqrt {2}}{4}})\\={\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}}+{\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{4}}\\={\frac {2{\sqrt {6}}}{4}}={\frac {\sqrt {6}}{2}}\end{array}}} (2) sin ⁡ 45 ∘ sin ⁡ 15 ∘ + cos ⁡ 45 ∘ cos ⁡ 15 ∘ = cos ⁡ ( 45 ∘ − 15 ∘ ) = cos ⁡ 30 ∘ = 3 2 {\displaystyle {\begin{array}{l}\sin 45^{\circ }\sin 15^{\circ }+\cos 45^{\circ }\cos 15^{\circ }\\=\cos(45^{\circ }-15^{\circ })=\cos 30^{\circ }={\frac {\sqrt {3}}{2}}\end{array}}} (3) cos ⁡ 44 ∘ sin ⁡ 14 ∘ − sin ⁡ 44 ∘ cos ⁡ 14 ∘ = sin ⁡ ( 14 ∘ − 44 ∘ ) = − sin ⁡ ( 44 ∘ − 14 ∘ ) = − sin ⁡ 30 ∘ = − 1 2 {\displaystyle {\begin{array}{l}\cos 44^{\circ }\sin 14^{\circ }-\sin 44^{\circ }\cos 14^{\circ }\\=\sin(14^{\circ }-44^{\circ })=-\sin(44^{\circ }-14^{\circ })\\=-\sin 30^{\circ }=-{\frac {1}{2}}\end{array}}} (4) cos ⁡ ( x − π 4 ) sin ⁡ x + cos ⁡ x = cos ⁡ x cos ⁡ π 4 + sin ⁡ x sin ⁡ π 4 sin ⁡ x + cos ⁡ x = cos ⁡ x ⋅ 2 2 + sin ⁡ x ⋅ 2 2 sin ⁡ x + cos ⁡ x = 2 2 ⋅ cos ⁡ x + sin ⁡ x sin ⁡ x + cos ⁡ x = 2 2 {\displaystyle {\begin{array}{l}{\frac {\cos(x-{\frac {\pi }{4}})}{\sin x+\cos x}}\\={\frac {\cos x\cos {\frac {\pi }{4}}+\sin x\sin {\frac {\pi }{4}}}{\sin x+\cos x}}\\={\frac {\cos x\cdot {\frac {\sqrt {2}}{2}}+\sin x\cdot {\frac {\sqrt {2}}{2}}}{\sin x+\cos x}}\\={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\cos x+\sin x}{\sin x+\cos x}}\\={\frac {\sqrt {2}}{2}}\end{array}}} (5) cos ⁡ 5 π 12 cos ⁡ π 6 + cos ⁡ π 12 sin ⁡ π 6 = cos ⁡ ( π 2 − π 12 ) cos ⁡ π 6 + cos ⁡ π 12 sin ⁡ π 6 = sin ⁡ π 12 cos ⁡ π 6 + cos ⁡ π 12 sin ⁡ π 6 = sin ⁡ ( π 12 + π 6 ) = sin ⁡ π 4 = 2 2 {\displaystyle {\begin{array}{l}\cos {\frac {5\pi }{12}}\cos {\frac {\pi }{6}}+\cos {\frac {\pi }{12}}\sin {\frac {\pi }{6}}\\=\cos({\frac {\pi }{2}}-{\frac {\pi }{12}})\cos {\frac {\pi }{6}}+\cos {\frac {\pi }{12}}\sin {\frac {\pi }{6}}\\=\sin {\frac {\pi }{12}}\cos {\frac {\pi }{6}}+\cos {\frac {\pi }{12}}\sin {\frac {\pi }{6}}\\=\sin({\frac {\pi }{12}}+{\frac {\pi }{6}})\\=\sin {\frac {\pi }{4}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\end{array}}} (6) 2 ( sin ⁡ 35 ∘ cos ⁡ 25 ∘ + sin ⁡ 55 ∘ cos ⁡ 65 ∘ ) = 2 ( sin ⁡ 35 ∘ cos ⁡ 25 ∘ + sin ⁡ ( 90 ∘ − 35 ∘ ) cos ⁡ ( 90 ∘ − 25 ∘ ) ) = 2 ( sin ⁡ 35 ∘ cos ⁡ 25 ∘ + cos ⁡ 35 ∘ sin ⁡ 25 ∘ ) = 2 sin ⁡ ( 35 ∘ + 25 ∘ ) = 2 sin ⁡ 60 ∘ = 2 × 3 2 = 3 {\displaystyle {\begin{array}{l}2(\sin 35^{\circ }\cos 25^{\circ }+\sin 55^{\circ }\cos 65^{\circ })\\=2(\sin 35^{\circ }\cos 25^{\circ }+\sin(90^{\circ }-35^{\circ })\cos(90^{\circ }-25^{\circ }))\\=2(\sin 35^{\circ }\cos 25^{\circ }+\cos 35^{\circ }\sin 25^{\circ })\\=2\sin(35^{\circ }+25^{\circ })=2\sin 60^{\circ }\\=2\times {\frac {\sqrt {3}}{2}}={\sqrt {3}}\end{array}}} (7) 2 cos ⁡ 10 ∘ − sin ⁡ 20 ∘ cos ⁡ 20 ∘ = 2 cos ⁡ ( 30 ∘ − 20 ∘ ) − sin ⁡ 20 ∘ cos ⁡ 20 ∘ = 2 ( cos ⁡ 30 ∘ cos ⁡ 20 ∘ + sin ⁡ 30 ∘ sin ⁡ 20 ∘ ) − sin ⁡ 20 ∘ cos ⁡ 20 ∘ = 2 ( 3 2 cos ⁡ 20 ∘ + 1 2 sin ⁡ 20 ∘ ) − sin ⁡ 20 ∘ cos ⁡ 20 ∘ = 3 cos ⁡ 20 ∘ + sin ⁡ 20 ∘ − sin ⁡ 20 ∘ cos ⁡ 20 ∘ = 3 cos ⁡ 20 ∘ cos ⁡ 20 ∘ = 3 {\displaystyle {\begin{array}{l}{\frac {2\cos 10^{\circ }-\sin 20^{\circ }}{\cos 20^{\circ }}}\\={\frac {2\cos(30^{\circ }-20^{\circ })-\sin 20^{\circ }}{\cos 20^{\circ }}}\\={\frac {2(\cos 30^{\circ }\cos 20^{\circ }+\sin 30^{\circ }\sin 20^{\circ })-\sin 20^{\circ }}{\cos 20^{\circ }}}\\={\frac {2({\frac {\sqrt {3}}{2}}\cos 20^{\circ }+{\frac {1}{2}}\sin 20^{\circ })-\sin 20^{\circ }}{\cos 20^{\circ }}}\\={\frac {{\sqrt {3}}\cos 20^{\circ }+\sin 20^{\circ }-\sin 20^{\circ }}{\cos 20^{\circ }}}\\={\frac {{\sqrt {3}}\cos 20^{\circ }}{\cos 20^{\circ }}}={\sqrt {3}}\end{array}}}

答案：(1) 6 2 {\displaystyle {\frac {\sqrt {6}}{2}}} ；(2) 3 2 {\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}} ；(3) − 1 2 {\displaystyle -{\frac {1}{2}}} ；(4) 2 2 {\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}} ；(5) 2 2 {\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}} ；(6) 3 {\displaystyle {\sqrt {3}}} ；(7) 3 {\displaystyle {\sqrt {3}}} 。

相關例題2： 已知 α ∈ [ 0 , π ] , sin ⁡ α 3 sin ⁡ 4 α 3 + cos ⁡ α 3 cos ⁡ 4 α 3 = 0 {\displaystyle \alpha \in [0,\pi ],\sin {\frac {\alpha }{3}}\sin {\frac {4\alpha }{3}}+\cos {\frac {\alpha }{3}}\cos {\frac {4\alpha }{3}}=0} ，求 α {\displaystyle \alpha } 的值。

給值求值的問題一般需要先根據角度範圍推測未知函數值的大小範圍。再利用正餘弦函數的畢氏三角學恆等式 sin 2 ⁡ x + cos 2 ⁡ x = 1 {\displaystyle \sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1} 解方程。

相關例題3： 已知 α ∈ ( π 2 , π ) , sin ⁡ α = 3 5 {\displaystyle \alpha \in ({\frac {\pi }{2}},\pi ),\sin \alpha ={\frac {3}{5}}} ，求 cos ⁡ ( π 4 − α ) {\displaystyle \cos({\frac {\pi }{4}}-\alpha )} 的值。

相關例題4： 已知 α {\displaystyle \alpha } 為銳角， β {\displaystyle \beta } 為第3象限角，且 cos ⁡ α = 12 13 , sin ⁡ β = − 3 5 {\displaystyle \cos \alpha ={\frac {12}{13}},\sin \beta =-{\frac {3}{5}}} ，求 cos ⁡ ( α − β ) {\displaystyle \cos(\alpha -\beta )} 的值。

相關例題5： 已知 0