有关函数对称性的几个重要结论

作者：赵建刚

来源：《学园》

2010

年第

05

期

函数是中学数学教学的主线

,

是中学数学的核心内容

,

也是整个高中数学的基础。函数的性

质是竞赛和高考的重点与热点

,

函数的对称性是函数的一个基本性质

,

对称关系不仅广泛存在于

数学问题之中

,

而且利用对称性往往能更简捷地使问题得到解决

,

对称关系还充分体现了数学之

美。本文拟通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称性这两个方面来探讨函数与对称有关

的性质。

一

函数自身的对称性

        [

重要结论

1]

函数

y=f(x)

的图像关于点

A(a,b)

对称的充要条件是

f(x)+f(2a-x)=2b

。

证明

:(

必要性

)

设点

P(x,y)

是

y=f(x)

图像上任一点

,

∵

点

P(x,y)

关于点

A(a,b)

的对称点

P’(2a

-

x,2b-y)

也在

y=f(x)

图像上

,

∴

2b-y=f(2a-x)

。

即

y+f(2a-x)=2b,

故

f(x)+f(2a-x)=2b,

必要性得证。

        (

充分性

)

设点

P(x0,y0)

是

y=f(x)

图像上任一点

,

则

y0=f(x0)

。

∵

f(x)+f(2a-x)=2b,

∴

f(x0)+f(2a-x0)=2b,

即

2b-y0=f(2a-x0)

。

故点

P’(2a

-x0,2b-y0)

也在

y=f(x)

图像上

,

而点

P

与点

P’

关于点

A(a,b)

对称

,

充分性得征。

推论

1:

函数

y=f(x)

的图像关于原点

O

对称的充要条件是

f(x)+f(-x)=0

。

        [

重要结论

2]

函数

y=f(x)

的图像关于直线

x=a

对称的充要条件是

: 

        f(a+x)=f(a-x),

即

f(x)=f(2a-x)(

证明同上

) 

推论

2:

函数

y=f(x)

的图像关于

y

轴对称的充要条件是

f(x)=f(-x) 

        [

重要结论

3](1)

若函数

y=f(x)

图像同时关于点

A(a,c)

和点

B(b,c)

成中心对称

(a≠b),

则

y=f(x)

是周期函数

,

且

2|a-b|

是其一个周期。

        (2)

若函数

y=f(x)

图像同时关于直线

x=a

和直线

x=b

成轴对称

(a≠b),

则

y=f(x)

是周期函数

,

且

2|a-b|

是其一个周期。