最近在学习玻尔兹曼机，里面用到了模拟退火算法，经过一天的实验，总算顺利完成，本文打算记录这一过程，以作备忘。

本文内容如下：

1、实验环境

2、算法原理简介

3、TSP案例代码实现

4、运行结果解析

5、算法的优缺点分析

6、关于模拟退火算法改进的一些想法

编程语言：R（R语言中求解模拟退火算法的函数有optim，sann等，其中sann在ConsPlan包中，本文基于模拟退火算法原理自行编写）

使用数据：中国31个城市的距离数据，详见附件

其他：无

模拟退火算法是一种随机搜索算法，用来求解表面粗糙（含有非常多的局部最小点），无法微分求导的最优值的问题，由于它结合了一定的贪心策略和启发策略，因此比纯粹的随机搜索算法更容易找到最优解，它的基本思想是模拟金属退火的过程，大家可以想象要将两种金属融合到一起的（比如炼钢，需要将铁和其他微量金属：铜、锰等融合在一起），首先需要先将金属加热至高温融化，使其原子处于高速运动状态，此时各种金属原子会做布朗运动进行互相融合，然后在缓慢降温，最后达到稳定状态（收敛），内能最低（最优解），熵值最大。

这样解释，也许大家还是不太明白，我们回到函数求解场景上，假设有一个函数（非凸函数），它的最优解无法用常规的微分求导（比如梯度下降、牛顿法等）来求出，且它的函数值域上有很多局部最小点，这时候有什么办法来尽量避免求解到局部最小点，而找到一个最优解或者近似最优解呢，我们想到了一个办法，随机丢一个小球到函数的值域空间上（即随机取一个初始值），然后让小球随机晃动，初始的时候温度较高，小球会晃动剧烈，这时小球会更有机会掉入周围更低的坑（函数值更小）中，从而避免掉入一个局部的小坑中，然后在逐步降温，小球晃动减少，最终收敛到一个比较理想的坑中（坑比较深，因此晃动不出来），从而找到最优解或者近似最优解。

从上述原理可以看出，模拟退火算法的关键在于温度的选取、降温过程的控制以及小球该如何做晃动运动（更新迭代策略），下面总结一下我的个人经验

1.1 更新迭代策略

前面我们说过模拟退火算法是一种随机搜索算法，它的随机性体现更新迭代过程中，即在小球当前位置做随机扰动，如果小球晃动到一个比之前更低的点上（值比之前的小），则将当前位置更新为最新晃动位置，如果小球晃动到一个比之前更高的点上（值比之前的大），则以一定的概率更新为最新晃动位置（这个概率服从玻尔兹曼分布），否则回到之前的点上继续晃动。

从上述描述可以看出，更新迭代策略具有一定贪心和启发性在里面。

1.2 

上面更新策略提到一个概率分布，即玻尔兹曼分布，它的概率分布公式简化形式如下：

从上可以看出，在差值不变的情况下，温度越高，更新迭代概率越大，在温度一定的情况下，差值绝对值越大，概率越小，这正是我们所期望的，因此关于温度的选择应该与差值的分布保持一致，温度过低会导致晃动能力太差，更容易收敛于局部最小点，温度过大，如果温度下降不快，则不容易收敛，始终处于随机跳动状态。

1.3 降温控制

目前有三种降温策略（指数exp,对数log,倒数rec），详情如下：

很明显，指数法降温过程整体比较平稳，对数法前期降温比较明显，但后期下降非常缓慢，倒数法则降温迅速，至于选取哪种方式与具体的场景有关，比如古代炼剑，不同的淬火方式，对剑的任性影响很大，需要根据用途，不断的尝试才能找到合适的。

其他有关模拟退火的详细介绍，请读者自行百度，知乎上有很多大牛的解释很精辟。

1、TSP问题描述

本文需要求解中国31个城市的TSP问题，代码具体如下：

2、原始数据读取