前言：

大家好，这里是心伤麒麟CN。昨天晚上有位朋友私信我询问一些关于个人研究的60白银城PK卡组的相关问题时，有一个问题是“手坑量会不会太大了”。这让我猛然想起我在高三到大一上学期一直在研究的一个事情——有关游戏王概率的基础问题。

所以对于这个问题，我的回答大致是“投入11张以上即可，多余的可以自己调整”。因为投入11张以上手坑，后手抽到1张以上的期望是大于1的。

由于当时的没有任何编程能力，因此采用手算验算计算。手算主卡组数量20-30，起手4张恰好几张的概率以及主卡组数量40-60，起手5张恰好几张的概率。又由于手算量相当巨大，以致于当时的工作没有进行下去一直停止至今。

当时研究的契机是高中的时候学了超几何分布，然后一想这不是跟游戏王先后手抽到什么是一回事吗？然后就开始搜集相关的关于游戏王概率研究的资料。发现百度贴吧以及日文帖子确实有相关的讨论，像是很久之前的有关齿轮卡组的概率讨论等。

从21年暑假到现在，这个期间B站也有一些UP开始做游戏王概率的研究与讲解，这是前所未有的，我也看了几期，收获颇大。今天又翻了翻当时研究的资料，现如今想整理一下。需要再次说明的是，文章内容是21年所写，由于当时的水平有限，可能比较粗糙也难免有疏漏甚至错误之处，所以仅供参考。

目录：

一、硬币与骰子

（一）硬币

（二）骰子

二、上手率

（一）上手率

（二）回合上手率

（三）展开率、展开综合概率及卡手率

（四）双方上手概率

三、总结

四、附表（《【游戏王理论】概率查表与分析》）

五、参考

游戏王概率是卡组构筑时的重要参考指标，以便衡量关键卡的上手率以及抽卡的效率。

游戏王概率用到的基础知识是高中数学内容。如果你是一名高二或高三学生，那么或许这篇文章不仅会加深你对游戏王的理解，更会对你高中数学概率的学习有所启迪。

附：专栏文章《【游戏王理论】概率查表与分析》，介绍了各种主卡数不同、卡片投入量不同情况的概率以及期望值。由此众多不同情况的概率数据来分析游戏王概率大小对应的实际情况，并进行评估与得出合理结论。

一、硬币与骰子

硬币和骰子是游戏王对局中必备的额外物品之一。硬币不仅可以用于卡牌效果的猜正反，还能用于做衍生物。而骰子也可以用于卡牌效果的点数，还可以比点大决定先后攻。硬币的正反与骰子的点数蕴含着基础的概率内容。

（一）硬币

问题一：发动「圣杯A」，进行一次投掷硬币，你能抽到2张卡的概率是多少？

问题二：发动2张「圣杯A」，你能抽到4张卡的概率是多少？

问题三：发动「亡命左轮手枪龙」的效果，你能抽到1张卡的概率是多少？

以上三个问题皆可用古典概率模型解决。

古典概率模型的定义：若一个试验具有以下两个特征（1）在一次试验中，可能出现的结果只有有限个，即只有有限个基本事件；（2）等可能性：每个基本事件出现的可能性相等。

古典概率模型的公式：如果随机事件A包含的基本事件个数为m，基本事件的总数为n，则有：P（A）=A包含的基本事件的个数/基本事件的总数=m/n。

对于问题一，基本事件为“正面”、“反面”，基本事件总数为2，随机事件“抽到2张卡”为“正面”包含的基本事件个数为1，所以概率是1/2=0.5。

“一个硬币抛2次”、“两个硬币同时抛”、“两个硬币连续抛”，这三种抛法对于古典概率模型是等同的。对于问题二，不妨设两个硬币分别为“硬币A”和“硬币B”。基本事件为“A正B正”、“A正B反”、“A反B正”、“A反B反”，随机事件“抽到4张卡”为“A正B正”，所以概率是1/4=0.25

对于问题三，我们延续上面的解法，先把所有的基本事件列出来，再找到相应的随机事件对应的基本事件。不妨设3个硬币分别为“硬币A”、“硬币B”和“硬币C”。基本事件：“A正B正C正”、“A反B正C正”、“A正B反C正”、“A反B反C正”、“A正B正C反”、“A反B正C反”、“A正B反C反”、“A反B反C反”，8种情况。也可以想各个硬币出现只有2种情况，3个硬币抛掷总共是2^2^2=8种情况。“抽到1张卡”对应的基本事件为“A正B正C正”，所以概率是1/8=0.125。

（二）骰子

有了硬币概率问题的了解，那么骰子问题也迎刃而解了。

问题四：发动2张「第六感」，都宣言5、6，送墓4张抽5张的概率是多少？

掷2次骰子，一共有6^6=36种情况，“送墓4张抽5张”对应“A4B5”、“A5B4”2种情况，所以概率是2/36=1/18。

二、上手率

游戏王玩家进行对局时总会遇到与预期不符的卡手情况，也叫做手札事故。线下的洗牌方式以及线上的“发牌员”决定了卡牌分配的均匀性与随机性，如此是保证第一回合上手预期手牌的前提。为了提高预期手牌的上手率，我们首先需要通过精心构思卡组构筑来解决。对于预期手牌的合理投入量，避免反复性测试获得感觉性概率而又浪费较多时间，这里需要理论概率作指导。

（一）上手率

对于这张图，大家应该并不陌生。且不考究事情的真实性，那么主卡组40张开局上手五张老艾的概率是多少呢？有人可能会说是5/40，也就是1/8，感觉运算挺合理的，概率也挺大的，这么一分析好像上手五张老艾也不足为奇。1/8这个概率显然是错误的，实际概率是1/658008。体育彩票排列五中奖的概率是1/100000。可想这是多么小的一个概率，这个事件的发生也几乎是不可能的。

这个概率是怎么计算出来的呢？这里要用到超几何分布来解决。

以下是对超几何分布的讲解，掌握超几何分布的可以略过讲解。

超几何分布

注：①C（n，r）表示组合数公式

附：①排列组合计算器：http://www.jisuanqinet.com/shuxue/pailiezuhe.html

例子：某校组织一次认识大自然夏令营活动，有10名同学参加，其中有6名男生、4名女生，为了活动需要，要从这10名同学中随机抽取3名同学去采集自然标本，那么其中恰有1名女生的概率有多大？

解析：从10名同学中随机抽取3名同学，考察所有可能的结果，这是一个随机试验。由于是随机抽取，任意3名同学被选中的可能性相等，所以这个试验是一个古典概型问题，基本事件空间是所有可能的抽取结果。根据组合数知识，从10名同学中任意选出3名同学，共有C（10，3)=120种不同的选法，所以基本事件空间包含的基本事件总数为120个。其中恰好有1名女生就意味着选出1名女生和2名男生。由分布乘法计数原理得到恰有1名女生的基本事件为C（4，1）C（6，2）=60个，因此其中恰有1名女生的概率为

P（“恰有1名女生”）=C（4，1）C（6，2）/C（10，3）=60/120=1/2。

采集标本的同学都是女生的概率有多大呢？类似可得到恰有3名女生的基本事件个数为C（4，3)C（6，0)=4个，因此恰有3名女生的概率为

P（“恰有3名女生”）=C（4，3）C（6，0）/C（10，3）=4/120=1/30。

可见结果全部是女生的概率要小得多。其他抽取结果概率的计算也与上面两式类似。

定义： 实际生活中有很多像上面例子这样的问题。一般地，设有总数为N件的两类物品，其中一类有M件，从所有物品中任取n件（n≤N），这n件中所含这类物品件数X是一个离散型随机变量，它取值为m时的概率为

P（X=m）=C（M，m)C（N-M，n-m)/C（N，n) (0≤m≤l,l为n和M中较小的一个)。

我们称离散型随机变量X的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X服从参数为N，M,n的超几何分布。

在超几何分布中，只要知道N、M和n，就可以根据公式①求出X取不同m值时的概率P（X=m）,从而列出X的分布列。

期望：x1对应的概率为p1，依此x2对应p2，x3对应p3...xn对应pn，则E（X）=x1p1+x2p2+x3p3+…+xnpn为随机变量X的均值或X的数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平。

超几何分布期望：若随机变量X服从超几何分布，即X~H（N,M,n）,则E（X）=nM/N。

转化为游戏王的上手率公式即为：

P（X=期望上手卡片数）=C（主卡组含期望上手卡片总数，期望上手卡片数)C（主卡组总数-主卡组含期望上手卡片总数，抽卡总数-期望上手卡片数)/C（主卡组总数，抽卡总数) (0≤m≤l,l为n和M中较小的一个)。

转化为游戏王的上手率期望公式即为

E（X）=抽卡总数^主卡组含期望上手卡片总数/主卡组总数

例如:主卡组总数为40，含有3张「灰流丽」，第一回合抽5张，T1上手「灰流丽」的概率是多少、期望是多少？

可能上手0张，1张，2张，3张，所以X=0，1，2，3

P（X=0）= C（3，0）C（37，5）/C（40，5）=0.662

P（X=1）= C（3，1）C（37，4）/C（40，5）=0.301

P（X=2）= C（3，2）C（37，3）/C（40，5）=0.035

P（X=3）= C（3，3）C（37，2）/C（40，5）=0.001

1- P（X=0）=0.338

E（X）=5^3/2=0.375

因此T1上手「灰流丽」的概率为0.338、期望为0.375。

（二）回合上手率

回合上手率讨论的是自己先手的情况下，自己的第二个回合、第三个回合等上手卡的概率。这种概率的讨论只能假定自己的第一个回合不影响此时卡组数量（检索、率抽、从卡组特招等）的前提下讨论。

例如:主卡组总数为40，含有3张「灰流丽」，第一回合抽5张，自己的第二个回合、第三个回合上手1张「灰流丽」的概率是多少？

自己的第二个回合可以假设T1抽6张；

自己的第三个回合可以假设T1抽7张。

由此

P(“自己的第二个回合”)=C(3，1)C(37，5)/C(40，6)=0.340688

P(“自己的第三个回合”)=C(3，1)C(37，6)/C(40，7)=0.374089

实际上，假如T1你抽到了一张「灰流丽」，那么自己的第二个回合抽到「灰流丽」的概率是2/35。从这里可以看出回合上手率的预先性。

（三）展开率、展开综合概率及卡手率

经过上手率的了解与认识，进一步可以利用超几何分布概率原理计算一种方式的展开率、多种方式的展开综合概率以及卡手率。

用这副勇者凤凰人PK为例，计算展开率、展开综合概率及卡手率。

1.展开率

对于能够启动的卡组来说，提高必要启动卡的上手率显得尤为重要。“启动卡的上手率”即为展开率。

如何计算展开率呢？应当将主卡组展开方式分类，每种方式对应相应展开卡的分类类别。每个类别里对应同种功能的卡。进而算出展开综合概率。

方式一：单卡启动

类别A: 3张「破洞鳞甲」、1张「增援」、1张「愚蠢的埋葬」、2张「割草」、3「圣殿的水遣」、3张「阿拉弥赛亚之仪」、3张「融合命运」共16张

类别B（除了“类别A”其他卡）:共44张

“T1抽到类别A中任意一卡”的概率为“单卡启动”的概率，记为

P（“单卡启动”）=C（16，1）C（44，4）/C（60，5）=0.397694

方式二：两卡启动

类别A：3张「无声靴」、1张「增援」共4张

类别B：3张「破手套」、3张「沾尘袍」、3张「破洞鳞甲」、1张「污痕胫甲」、1张「脆铠甲」共11张

类别C（除了“类别A”“类别B”其他卡）：共45张

“T1抽到类别A中任意一卡+类别B中任意一卡”的概率为“两卡启动”的概率，记为

P（“两卡启动”）=C（4，1）C（11，1）C（45，3）/C（60，5）=0.114319

两卡启动还有其他方式。例如: 假设方式三是“「圣殿的水遣」+任意怪兽卡+其他3卡”，增加这种方式需要对这三种方式重复部分进行讨论，计算展开综合概率会变得复杂，因而一般用两种主要方式代替全部方式。像是T1起手「圣殿的水遣」+「无声靴」+「沾尘袍」+「灰流丽」+「墓穴的指名者」这五张，那么这种方式就即属于方式一，又属于方式二，还属于方式三，因而计算展开综合概率时会很复杂。再例如：假设方式四是“「无声靴」+「无声靴」+「雾剑」或「剑」或「翼」+其他2卡”，类似方式四这种3卡展开CB出现概率较低也不计入方式进行讨论。因而2种方式计算的展开综合概率要比实际的展开综合概率误差允许下低。

2.展开综合概率：

T1起手情况满足“方式一”或“方式二”的概率。这个概率是不是方式一的概率+方式二的概率得出来的呢？很显然不是。

这种综合方式要考虑方式一与方式二的重复部分。用方式一与方式二的情况总数减去重复的情况数得到的便是方式一与方式二的所有情况总数。再用这个所有情况总数除以“60张主卡组抽5张”的所有情况总数即是所求的展开综合概率。

60张主卡组抽5张，共有C（60，5）种情况。方式一有C（16，1）C（44，4）种情况，方式二有C（4，1）C（11，1）C（45，3）/C（60，5）种情况。重复情况是：①「破洞鳞甲」+「无声靴」+其他卡3张（不包括「增援」）②「增援」+「类别B」+其他三卡

“T1起手情况满足‘方式一’或‘方式二’”的概率为“展开综合概率”，记为

P（“展开综合概率”）=[C（16，1）+C(4,1)C(11,1)C(45,3)-C(3,1)C(3,1)C(53,1)-C(1,1)C(11,1)C(48,1)]/C(60,5)=0.438575

由此可见综合展开率的计算是相对复杂的，需要思考重复的部分。

3.卡手率：

   卡手即是废件上手影响展开也叫“手札事故”，是每位决斗者最不愿意看到的。战略性思考后直接投降、“没有连锁”而强忍欢笑这些或许是每位决斗者曾经历过的微妙回忆。如何改变这些呢？一方面是提高想要的卡的上手率，另一方面是降低废件的上手率即是卡手率。                

   不能展开的概率可用1减去展开综合概率。但是这个概率包括了不能展开但能妥协的概率，像是抽到手坑、墓穴的指名者、雾剑等。因而这里的卡手率是计算完全卡手的情况。

且定：1张「血魔-D」、1张「神性人」、1张「存档海马」、1张「脆铠甲」、1张「污痕胫甲」、2张「抹杀的指名者」、1张「幻影之力」、1张「驮龙」、3张「雾鸦爪」、1张「幻影翼」、1张「幻影剑」、1张「布面甲」共15张卡为起手废件。

废件之间搭配不能组一些combo吗？可以。计算时尽量考虑到这些情况以求结果精确。例如：①「神性人」或「脆铠甲」或「污痕胫甲」+「布面甲」+「幻影之力」+任意两卡，②「神性人」或「存档海马」或「脆铠甲」+「污痕胫甲」+「布面甲」+任意两卡，像是「幻影剑」或「幻影翼」保护「脆铠甲」或「无痕胫甲」这类非启动妥协不予考虑。

注意讨论废件搭配时的情况一定要注意重复的部分。这里的①②没有重复部分。

“T1起手情况不能启动与妥协”的概率为“卡手率”，记为

P（“卡手率”）=[C(15,5)-C(3,1)C(1,1)C(1,1)C(10,2)-C(3,1)C(1,1)C(1,1)C(10,2)]/C(60,5)=0.000500

由此可见为什么一些废件较多的展开卡组会选择主卡组数较多的构筑了。

（四）、双方上手概率

    我方主卡组数40含2张「墓穴的指名者」，对方主卡组数40含2张「灰流丽」。假设T1我方先手，问此时我方上手1张「墓穴的指名者」，对方上手1张「灰流丽」的概率。

双方上手概率应该怎么计算呢？这里要用到二项分布来解决。

以下是对二项分布的讲解，掌握二项分布的可以略过讲解。

二项分布

一般地，在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P（X=k）=C(n,k)·p的k次方·（1-p）的n-k次方，k=0,1,2,3,…,n。

此时称随机变量X服从二项分布，记作X~B（n,p）,并称p为成功概率。

假设把题设的“「墓穴的指名者」”都改为“「灰流丽」”，那么就相当于一副卡组进行2次起手5张，要求起手每次起手1张「灰流丽」。即是每次起手都是独立重复试验，进行2次试验，事件A是“起手1张灰流丽”，事件A发生2次。

P（X=2）=C（2，2）[C（2，1）C（38，4）/C（40，5）]的2次方[1-C（2，1）C（38，4）/C（40，5）]的0次方=[C（2，1）C（38，4）/C（40，5）]的2次方

不难看出二项分布解决的双方上手概率是有条件的，①是主卡组数相同②是所设定的双方起手卡片在卡组所含的数量相同，这样才能保证是独立重复试验。

进一步观察发现实则是两个上手概率的乘积。

是不是可以分别计算两个上手概率，然后用它们的乘积来表示双方上手概率？答案是可以。这就是最简单的A发生的概率是P（A）,B发生的概率是P（B）,问AB同时发生的概率。并由此还可以算出B发生A不发生的概率，即是“我方没指，吃灰坐牢”的概率。这些就不在展开举例列式计算了。

三、总结

如果你认真看完，恭喜你增加了新的游戏理解；如果你没有认真看完，希望你不要盲目地做出任何评价。要说游戏王概率有什么作用，只能说在卡组构筑时有一定的参考与指导意义，计算理论上的部分卡投入卡组的数量的合理值。进一步说只是指导初期的卡组构筑，只是对于玩家T1上手情况概率的计算与期望，最终的卡组构筑还是需要玩家在实际操作中多打多思考来确定。

玄学不改非，氪金不改命。或许你对于期望上手的卡的概率很高且期望值大于1，可能你把把抽不到。那你能抽到什么呢？概率极低的五废件起手。

四、附表（【游戏王理论】概率查表与分析）

由于这一部分当时并未完成，只完成了一部分。现将常见的主卡组数量40、41、42、43、60，先手抽5张的概率查表展示。

五、参考

[1]確率 ，https://yugioh-wiki.net/index.php?%B3%CE%CE%A8

后记：

概率在卡组构筑时期，进行理论模拟先、后攻的起手抽5、抽6对于一类牌的投入有直接的指导作用，因为起手是不会因为其他因素而改变的（除非做牌），接近于理论（洗牌因素）。但是对于局中就意义不大了，像是“卡组40张、永续魔法10张、降雷皇 哈蒙3张，先攻第3回合为止可以把哈蒙召唤的概率”这类问题。因为局中千变万化，跟理论大相径庭。

简言之，概率在构筑卡组时对于指导常用的卡组数量（40、41、42、43、44、45、46、50、60），先、后攻抽到想要的牌（1以上或2以上）的期望值（1以上或2以上），是尤为重要的（后续更新有关此的概率查表）。