设 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y) 为二维随机变量，以 X , Y X,Y X,Y 为变量所构成的二元函数 Z = φ ( X , Y ) Z=\varphi(X,Y) Z=φ(X,Y) ，称为随机变量 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y) 的函数，其分布一般有如下几种情形：

设 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y) 联合分布律为 P { X = x i , Y = y j ) = p i j P\{X=x_i,Y=y_j)=p_{ij} P{X=xi​,Y=yj​)=pij​ ，则 Z = φ ( X , Y ) Z=\varphi(X,Y) Z=φ(X,Y) 的分布律如下： Z ∼ ( φ ( x 1 , y 1 ) φ ( x 1 , y 2 ) ⋯ φ ( x m , y 1 ) ⋯ p 11 p 12 ⋯ p m 1 ⋯ ) , Z\sim \begin{pmatrix} \varphi(x_1,y_1) & \varphi(x_1,y_2) & \cdots & \varphi(x_m,y_1) & \cdots\\ p_{11} & p_{12} & \cdots & p_{m1} & \cdots \end{pmatrix}, Z∼(φ(x1​,y1​)p11​​φ(x1​,y2​)p12​​⋯⋯​φ(xm​,y1​)pm1​​⋯⋯​), 相同的取值需要合并。

设 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y) 联合密度函数为 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y) 。

（1）当 Z = φ ( X , Y ) Z=\varphi(X,Y) Z=φ(X,Y) 为离散型时

求出 Z Z Z 的所有可能取值，再求出其对应的概率。

（2）当 Z = φ ( X , Y ) Z=\varphi(X,Y) Z=φ(X,Y) 为连续型时

首先计算 Z Z Z 的分布函数 F Z ( z ) = P { Z ≤ z } = ∬ φ ( x , y ) ≤ z f ( x , y ) d x d y F_Z(z)=P\{Z\leq z\}=\iint_{\varphi(x,y)\leq z}f(x,y)dxdy FZ​(z)=P{Z≤z}=∬φ(x,y)≤z​f(x,y)dxdy ，那么 Z Z Z 的密度函数为： f Z ( z ) = { F Z ′ ( z ) , z 为可导点 0 , z 为不可导点 f_Z(z)=\begin{cases} F'_Z(z),&z为可导点 \\ 0,&z为不可导点 \end{cases} fZ​(z)={FZ′​(z),0,​z为可导点z为不可导点​

给出 X X X 的分布律， Y Y Y 的概率密度，求 Z = φ ( X , Y ) Z=\varphi(X,Y) Z=φ(X,Y) 的分布时，一般用全概率公式。

若 X ∼ ( x 1 x 2 ⋯ x n p 1 p 2 ⋯ p n ) , X\sim \begin{pmatrix} x_1 & x_2 & \cdots & x_n \\ p_{1} & p_2 & \cdots & p_{n} \end{pmatrix}, X∼(x1​p1​​x2​p2​​⋯⋯​xn​pn​​), Y Y Y 的边缘密度为 f Y ( y ) f_Y(y) fY​(y) ，则有 F Z ( z ) = P { φ ( X , Y ) ≤ z } = P { X = x 1 , φ ( x 1 , Y ) ≤ z } + P { X = x 2 , φ ( x 2 , Y ) ≤ z } F_Z(z)=P\{\varphi(X,Y)\leq z\}=P\{X=x_1,\varphi(x_1,Y)\leq z\}+P\{X=x_2,\varphi(x_2,Y)\leq z\} FZ​(z)=P{φ(X,Y)≤z}=P{X=x1​,φ(x1​,Y)≤z}+P{X=x2​,φ(x2​,Y)≤z} + ⋯ + P { X = x n , φ ( x n , Y ) ≤ z } . +\cdots+P\{X=x_n,\varphi(x_n,Y)\leq z\}. +⋯+P{X=xn​,φ(xn​,Y)≤z}.

F Z ( z ) = P { Z ≤ z } = 1 − P { Z > z } = P { X > z , Y > z } = 1 − ∬ x > z , y > z f ( u , v ) d u d v F_Z(z)=P\{Z\leq z\}=1-P\{Z>z\}=P\{X>z,Y>z\}=1-\iint_{x>z,y>z}f(u,v)dudv FZ​(z)=P{Z≤z}=1−P{Z>z}=P{X>z,Y>z}=1−∬x>z,y>z​f(u,v)dudv ，特别地，当 X , Y X,Y X,Y 相互独立时，有 F Z ( z ) = 1 − [ 1 − F X ( z ) ] [ 1 − F Y ( z ) ] F_Z(z)=1-[1-F_X(z)][1-F_Y(z)] FZ​(z)=1−[1−FX​(z)][1−FY​(z)] 。

这个变换还是比较巧妙的，同样这也提示我们，对于这类求最大最小的分布，可以去做类似处理。

F Z ( z ) = P { Z ≤ z } = P { X ≤ z , Y ≤ z } = ∫ − ∞ z d x ∫ − ∞ z f ( x , y ) d y F_Z(z)=P\{Z\leq z\}=P\{X\leq z,Y\leq z\}=\int_{-\infty}^zdx\int_{-\infty}^zf(x,y)dy FZ​(z)=P{Z≤z}=P{X≤z,Y≤z}=∫−∞z​dx∫−∞z​f(x,y)dy ，特别地，当 X , Y X,Y X,Y 独立时，有 F Z ( z ) = F X ( z ) F Y ( z ) . F_Z(z)=F_X(z)F_Y(z). FZ​(z)=FX​(z)FY​(z).

F Z ( z ) = P { X + Y ≤ z } = ∬ x + y ≤ z f ( x , y ) d x d y . F_Z(z)=P\{X+Y\leq z\}=\iint_{x+y\leq z}f(x,y)dxdy. FZ​(z)=P{X+Y≤z}=∬x+y≤z​f(x,y)dxdy.

下面给出一些常见的二维随机变量的函数分布：

设 X , Y X,Y X,Y 独立，则：

（1）若 X ∼ B ( m , p ) , Y ∼ B ( n , p ) X\sim B(m,p),Y\sim B(n,p) X∼B(m,p),Y∼B(n,p) ，则 X + Y ∼ B ( m + n , p ) . X+Y \sim B(m+n,p). X+Y∼B(m+n,p).

（2）若 X ∼ P ( λ 1 ) , Y ∼ P ( λ 2 ) X\sim P(\lambda_1),Y\sim P(\lambda_2) X∼P(λ1​),Y∼P(λ2​) ，则 X + Y ∼ P ( λ 1 + λ 2 ) . X+Y \sim P(\lambda_1+\lambda_2). X+Y∼P(λ1​+λ2​).

那到此，二维随机变量的理论内容就结束啦，掌握一维随机变量，再加上高数的二重积分的基础，这一章应该就问题不大。