【笔记】概统论与数理统计第四章知识点总结

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【笔记】概统论与数理统计第四章知识点总结

2023-12-08 21:29| 来源: 网络整理| 查看: 265

4.1 数学期望

1. 离散型随机变量的数学期望

E(X)：随机变量X取值的加权平均值，权重为概率，级数𝑖=1∞𝑥𝑖𝑝𝑖收敛，则0-1分布X~B(1, p)：E(x) = p二项分布X~(n, p)：E(X) =np指数分布X~e(𝛌)：E(X) = $\frac{1}{\lambda}$ 0-1分布X~B(1, p)：E(x) = p几何分布X ∼ G(p)：E(X) = $\frac{1}{p}$ 超几何分布：E(X) = $\frac{M}N{n}$

2. 连续型随机变量的数学期望： $\mathrm{E}(\mathrm{X})=\int_{-\infty}^{+\infty} x f(x) d x$

均匀分布X ∼ U(a, b)： $E(X)=\frac{a+b}{2}$ Gamma 分布𝐗~𝚪(𝜶, 𝜷)： $E(x)=\frac{\alpha}{\beta}$

3. 随机变量函数的数学期望

一维随机变量：离散型：X 为离散型随机变量，其分布律为 $p_k = P(X = x_k)$ ，k = 1, 2, ..., y = g(x) 是 x 的 (分段) 连续函数或单调函数，且级数 $\sum_{\mathrm{k}=1}^{+\infty} g\left(x_{k}\right) p_{k}$ 绝对收敛，则对Y = g(X），我们有

公式的意义：求E(Y)时，不必算出的分布律或概率密度，而只要利用X的分布律或概率密度就可以了

连续型：若X为连续型的，其密度函数为f(x)，且反常积分 $\int_{-\infty}^{+\infty} g(x) f(x) d x$ 绝对收敛，则有

二维随机变量：设 (X, Y) 是二维随机变量

离散型：若 (X, Y) 是离散型，二维概率分布律为 $\mathrm{p}_{\mathrm{jk}}=\mathrm{P}\left(\mathrm{X}=\mathrm{x}_{\mathrm{j}}, \mathrm{Y}=\mathrm{y}_{\mathrm{k}}\right), \quad \mathrm{j}, \mathrm{k}=1,2, \ldots$ 。g(x, y) 是分片连续函数，且级数 $\sum_{\mathrm{j}, k} g\left(x_{j}, y_{k}\right) p_{j k}$ 绝对收敛，则有

连续型：若(X, Y)为连续型，其二维密度函数为f(x, y)，且反常积分 $\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} g(x, y) f(x, y) d x d y$ 绝对收敛，则有

4. 数学期望的性质

E(C) = CE(CX) = CE(X)E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y) $\mathrm{E}\left(\sum_{i=1}^{\mathrm{n}} C_{i} X_{i}+\mathrm{b}\right)=\sum_{i=1}^{n} C_{i} E\left(X_{i}\right)+b$ 若 X 和 Y 独立，E(XY) = E(X) E(Y) g(X) 和 h(Y) 也是独立的随机变量，E(g(X)h(Y)) = E(g(X))E(h(Y))

4.2 方差和矩

1. 方差的定义及计算

方差：随机变量 X 取值在期望 E(X) 周围的集中程度

定义： $D(X)=E(X-E(X))^2 =E(X^2 )-[E(X)]^2$

公式反映 D(X) ≥ 0D(X) ≤ E( $X^2$ )常用于估计方差上界

X为离散型： $\mathrm{D}(\mathrm{X})=\sum_{\mathrm{k}=1}^{\infty}\left[x_{k}-E(X)\right]^{2} p_{k}$

X为连续型： $\mathrm{D}(\mathrm{X})=\int_{-\infty}^{+\infty}[x-E(X)]^{2} f(x) d x=\int_{-\infty}^{+\infty} x^{2} f(x) d x-\left(\int_{-\infty}^{+\infty} x f(x) d x\right)^{2}$ 均方差标准差 $\sqrt{D(X)}$ ：反映了随机变量和均值的典型距离0-1分布X~B(1, p)：D(x) = p(1-p)二项分布X~(n, p)：D(X) =np(1-p)泊松分布𝐗~𝐏(𝝀)：D(X) =𝜆 几何分布X ∼ G(p)：D(X) = $\frac{1-p}{p^2}$ 均匀分布X ∼ U(a, b)：D(X) = $\frac{(b-a)^2}{12}$ Gamma 分布𝐗~𝚪(𝜶, 𝜷)：D(X) = $\frac{\alpha}{\beta^2}$ 指数分布𝐗~𝐞(𝝀)：D(X) = $\frac{1}{\lambda^2}$

2. 方差的性质

D(C) = 0D(aX+b) = $a^2D(X)$ 若X与Y独立，则

随机变量 $X_1,X_2,...,X_n$ 相互独立， $C_1, C_2,...,C_n$ 是n个常数，则

D(X) = 0 等价于 P(X = E(X)) = 1 此时X 服从退化分布

3. 变异系数、原点矩及中心距

变异系数：在比较两个随机变量的取值集中程度时消除方差和标准差的量纲，衡量了 X 取值在 E(X) 周围的相对集中程度（越小越集中）定义：若随机变量 X 的期望、方差均存在, 且 E(X) ≠ 0, 则

随机变量的原点矩和中心距：是非负整数

X 的 k 阶原点矩： $m_k=E(X^k)$

X 的 k 阶中心矩： $\mu_k=E(X-E(X))^k$

$E(X) = m_1, D(X) = \mu_2$

中心距可以用原点矩表示： $\mu_{\mathrm{k}}=\sum_{r=0}^{k} C_{k}^{r} m_{r}\left(-m_{1}\right)^{k-r}$ 4.3 协方差和相关系数

1. 协方差

定义：Cov(X, Y) = E(X − E(X))(Y − E(Y)) = E(XY) − E(X)E(Y)特别情况：Cov(X, X) = D(X)计算离散型

连续型

协方差的性质

Cov(X, Y) = Cov(Y, X)

Cov(aX, Y) = a Cov(X, Y)Cov(X + Y, Z) = Cov(X, Z) + Cov(Y, Z)Cov(X, a) = 0Cov(X, Y) = E(XY) − E(X)E(Y)若 X, Y 独立, 那么, Cov(X, Y) = 0D(X ± Y) = D(X) + D(Y) ± 2 Cov(X, Y) $\operatorname{Cov}\left(\sum_{i=1}^{n} a_{i} X_{i}, \sum_{j=1}^{m} b_{j} Y_{j}\right)=\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} a_{i} b_{j} \operatorname{Cov}\left(X_{i}, Y_{j}\right)$ 均值向量： $(E(X_1 ), E(X_2 ), ...,E_n (X_n))$

协方差阵： $\sigma_{ij}=Cov(X_i, X_j)$