一般地，设\(A\) ，\(B\)为两个事件，且\(P(A)>0\)，称\(P(B \mid A)=\dfrac{P(A B)}{P(A)}\)为在事件\(A\)发生的条件下，事件\(B\)发生的条件概率. 解释 (1) 求“事件\(A\)已发生，事件\(B\)发生的概率”，可理解：如图，事件\(A\)已发生，则\(A\)为样本空间，此时事件\(B\)发生的概率是\(AB\)包含的样本点数与\(A\)包含的样本点数的比值，即 $$P(B \mid A)=\dfrac{n(A B)}{n(A)}=\dfrac{\frac{n(A B)}{n(\Omega)}}{\frac{n(A)}{n(\Omega)}}=\dfrac{P(A B)}{P(A)}$$ (通俗些理解，条件概率只是缩小了样本空间，\(P(B | A)\)就是以\(A\)为样本空间计算\(AB\)的概率)  

【例1】 某个班级有\(45\)名学生，其中男生、女生的人数及团员的人数如下表，

求在选到团员的条件下，选到男生的概率. 解 用\(A\)表示事件“选到团员”，\(B\)表示事件“选到男生”， “在选到团员的条件下，选到男生”的概率就是“在事件\(A\)发生的条件下，事件\(B\)发生”的概率，记为\(P(B | A)\)， 此时相当于以\(A\)为样本空间来考虑事件\(B\)发生的概率，而在新的样本空间中事件\(B\)就是积事件\(AB\)，包含的样本点数\(n(AB)=16\)， 根据古典概型知识可知， \(P(B \mid A)=\dfrac{n(A B)}{n(A)}=\dfrac{16}{30}=\dfrac{8}{15}\).  

【例2】某地\(7\)月份吹南风(事件\(A\))的概率是\(\dfrac{1}{3}\)，下雨(事件\(B\))的概率是\(\dfrac{1}{4}\)，即吹南风又下雨的概率是\(\dfrac{1}{5}\)，求在吹南风的条件下下雨的概率是\(P(B│A)\)， 在下雨的条件下吹南风的的概率是\(P(A│B)\). 解 \(P(B \mid A)=\dfrac{P(A B)}{P(A)}=\dfrac{\frac{1}{5}}{\frac{1}{4}}=\dfrac{4}{5}\)， \(P(A \mid B)=\dfrac{P(A B)}{P(B)}=\dfrac{\frac{1}{5}}{\frac{1}{3}}=\dfrac{3}{5}\).  

(2) 当\(P(A)>0\)时，当且仅当事件\(A\)与\(B\)相互独立时，有\(P(B | A)=P(B)\). 证明 若事件\(A\)与\(B\)相互独立，即\(P(AB)=P(A)P(B)\)，且\(P(A)>0\)， 则\(P(B \mid A)=\dfrac{P(A B)}{P(A)}=\dfrac{P(A) P(B)}{P(A)}=P(B)\)， 反之，若\(P(B | A)=P(B)\)，且\(P(A)>0\)，则 \(P(B)=\dfrac{P(A B)}{P(A)} \Rightarrow P(A B)=P(A) P(B)\)， 即事件\(A\)与\(B\)相互独立.  

对任意两个事件\(A\)与\(B\)，若\(P(A)>0\)，则\(P(AB)=P(A)P(B | A)\).  

条件概率只是缩小了样本空间，条件概率同样具有概率的性质，可借助\(venn\)图理解. 设\(P(A)>0\)，则 (1) \(P(Ω│A)=1\)； (2) 如果\(B\)和\(C\)互斥，那么\(P[(B \cup C) | A]=P(B | A)+P(C | A)\)； (3) 设\(\bar{B}\)和\(B\)互为对立事件，则\(P(\bar{B} | A)=1-P(B | A)\).  

【典题1】从\(1\)，\(2\)，\(3\)，\(4\)，\(5\)中任取\(2\)个不同的数，事件\(A=\)“取到的\(2\)个数之和为偶数”，事件\(B=\)“取到的\(2\)个数均为偶数”，则\(P(B|A)=\)(　　)  A．\(\dfrac{1}{8}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(\dfrac{1}{4}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(\dfrac{2}{5}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(\dfrac{1}{2}\) 解析 方法1 \(P(B \mid A)=\dfrac{n(A B)}{n(A)}=\dfrac{C_2^2}{C_2^2+C_3^2}=\dfrac{1}{4}\)． 方法2 \(\because P(A)=\dfrac{C_2^2+C_3^2}{C_5^2}=\dfrac{4}{10}\)， \(P(A B)=\dfrac{C_2^2}{C_5^2}=\dfrac{1}{10}\)， \(\therefore P(B \mid A)=\dfrac{P(A B)}{P(A)}=\dfrac{1}{4}\)． 点拨 计算条件概率的两种方法： ① 在缩小后的样本空间\(A\)中计算事件\(B\)发生的概率，即 \(P(B \mid A)=\dfrac{n(A B)}{n(A)}\)； ② 在原样本空间\(Ω\)中，先计算\(P(AB)\)，\(P(A)\)，再按公式 \(P(B \mid A)=\dfrac{P(A B)}{P(A)}\) 计算求得\(P(B|A)\)．  

【典题2】某气象台统计，该地区在下雨的条件下刮四级以上的风概率为\(\dfrac{3}{8}\)，下雨的概率为\(\dfrac{4}{15}\)，刮四级以上的风概率为\(\dfrac{2}{15}\)，设事件\(A\)为下雨，事件\(B\)为刮四级以上的风，则既刮四级以上的风又下雨的概率为\(\underline{\quad \quad}\)，\(P(A∣B)=\) \(\underline{\quad \quad}\)． 解析 由已知\(P(B∣A)=\dfrac{3}{8}\)，\(P(A)=\dfrac{4}{15}\)，\(P(B)=\dfrac{2}{15}\)， 则既刮四级以上的风又下雨的概率为\(P(AB)=P(A)P(B | A)=\dfrac{4}{15}×\dfrac{3}{8}=\dfrac{1}{10}\)， \(\therefore P(A \mid B)=\dfrac{P(A B)}{P(B)}=\dfrac{3}{4}\)． 点拨 ① 对任意两个事件\(A\)与\(B\)，若\(P(A)>0\)，则\(P(AB)=P(A)P(B | A)\). ② 在解决条件概率问题时，要灵活掌握\(P(A)\)，\(P(B)\)，\(P(AB)\)，\(P(B|A)\)，\(P(A|B)\)之间的关系．即在应用公式求概率时，要明确题中的两个已知事件，搞清已知什么，求什么，再运用公式求概率．  

1.在某地区进行流行病调查，随机调查了\(100\)名某种疾病患者的年龄，发现该\(100\)名患者中有\(20\)名的年龄位于区间\([40，50)\)内．已知该地区这种疾病的患病率为\(0.15\%\)，年龄位于区间\([40，50)\)内人口占该地区总人口的\(30\%\)．现从该地区任选一人，若此人年龄位于区间\([40，50)\)内，则此人患该疾病的概率为(　　)  A．\(0.001\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(0.003\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(0.005\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(0.007\)  

2.小明每天上学途中必须经过\(2\)个红绿灯，经过一段时间观察发现如下规律：在第一个红绿灯处遇到红灯的概率是\(\dfrac{1}{2}\)，连续两次遇到红灯的概率是\(\dfrac{1}{6}\)，则在第一个红绿灯处小明遇到红灯的条件下，第二个红绿灯处小明也遇到红灯的概率为(　　)  A．\(\dfrac{2}{3}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(\dfrac{3}{4}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(\dfrac{1}{3}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(\dfrac{1}{2}\)  

3.端午节为每年农历五月初五，又称端阳节、午日节、五月节等．端午节是中国汉族人民纪念屈原的传统节日，以围绕才华横溢、遗世独立的楚国大夫屈原而展开，传播至华夏各地，民俗文化共享，屈原之名人尽皆知，追怀华夏民族的高洁情怀．小华的妈妈为小华煮了\(8\)个粽子，其中\(5\)个甜茶粽和\(3\)个艾香粽，小华随机取出两个，事件\(A\)“取到的两个为同一种馅”，事件\(B\)“取到的两个都是艾香粽”，则\(P(B|A)=\)(　　)  A．\(\dfrac{3}{5}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(\dfrac{3}{13}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(\dfrac{5}{8}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(\dfrac{13}{28}\)  

4.将两颗骰子各掷一次，设事件\(A=\)“两个点数不相同”，\(B=\)“至少出现一个\(6\)点”，则概率\(P(A|B)\)等于(　　)  A．\(\dfrac{10}{11}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(\dfrac{5}{11}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(\dfrac{5}{18}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(\dfrac{5}{36}\)  

5.小赵、小钱、小孙、小李到\(4\)个景点旅游，每人只去一个景点，设事件\(A\)为“\(4\)个人去的景点不完全相同”，事件\(B\)为“小赵独自去一个景点”，则\(P(B|A)=\)(　　)  A．\(\dfrac{3}{7}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(\dfrac{4}{7}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(\dfrac{5}{7}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(\dfrac{6}{7}\)  

6.某种疾病的患病率为\(0.5\%\)，已知在患该种疾病的条件下血检呈阳性的概率为\(99\%\)，则患该种疾病且血检呈阳性的概率为(　　)  A．\(0.495\%\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(0.9405\%\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(0.9995\%\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(0.99\%\)  

7.将甲、乙、丙、丁\(4\)名志愿者随机派往①，②，③三个社区进行核酸信息采集，每个社区至少派\(1\)名志愿者，\(A\)表示事件“志愿者甲派往①社区”；\(B\)表示事件“志愿者乙派往①社区”；\(C\)表示事件“志愿者乙派往②社区”，则(　　)  A．\(P(A)=\dfrac{1}{3}\) \(\qquad\) B．事件\(A\)与\(C\)为互斥事件 \(\qquad\) C． \(P(C \mid A)=\dfrac{5}{12}\) \(\qquad\) D． \(P(B \mid A)=\dfrac{1}{9}\)    

参考答案

【典题1】已知随机事件\(A\) ，\(B\)，\(C\)满足\(0