bm25 是一种用来评价搜索词和文档之间相关性的算法，它是一种基于概率检索模型提出的算法，再用简单的话来描述下bm25算法：我们有一个query和一批文档Ds，现在要计算query和每篇文档D之间的相关性分数，我们的做法是，先对query进行切分，得到单词，然后单词的分数由3部分组成：

最后对于每个单词的分数我们做一个求和，就得到了query和文档之间的分数。

讲bm25之前，我们要先介绍一些概念。

BIM(binary independence model)是为了对文档和query相关性评价而提出的算法，BIM为了计算，引入了两个基本假设：

假设一：二元假设

所谓二元假设，类似于布尔模型的表示方法，一篇文章在由特征表示的时候，以特征“出现”和“不出现”两种情况来表示，也可以理解为相关不相关。

假设二：词汇独立性假设

所谓独立性假设，是指文档里出现的单词之间没有任何关联，任一个单词在文章中的分布率不依赖于另一个单词是否出现，这个假设明显与事实不符，但是为了简化计算，很多地方需要做出独立性假设，这种假设是普遍的。

在以上两个假设的前提下，二元独立模型即可以对两个因子P(D|R)和P(D|NR)进行估算（条件概率），举个简单的例子，文档D中五个单词的出现情况如下：{1,0,1,0,1} 0表示不出现，1表示出现。用Pi表示第i个单词在相关文档中出现的概率，在已知相关文档集合的情况下，观察到文档D的概率为:

对于因子P(D|NR)，我们假设用Si表示第i个单词在在不相关文档集合中出现的概率，于是在已知不相关文档集合的情况下，观察到文档D的概率为：

于是我们可以得到下面的估算

可以将各个因子规划为两个部分，一部分是在文档D中出现的各个单词的概率乘积，另一部分是没在文档D中出现的各个单词的概率乘积，于是公式可以理解为下面的形式

对公式进行一下等价的变换，可得：

为了方便计算，对上述公式两边取log，得到：

那么如何估算概率Si和Pi呢，如果给定用户查询，我们能确定哪些文档集合构成了相关文档集合，哪些文档构成了不相关文档集合，那么就可以用如下的数据对概率进行估算：

根据上表可以计算出Pi和Si的概率估值，为了避免log（0），对估值公式进行平滑操作，分子+0.5，分母+1.0

代入估值公式得到：

这个公式代表的含义就是，对于同时出现在查询Q和文档D中的单词，累加每个单词的估值结果就是文档D和查询Q的相关性度量，在预先不知道哪些文档相关哪些文档不相关的情况下，可以使用固定值代替，这种情况下该公式等价于向量空间模型（VSM）中的IDF因子，实际证明该模型的实际使用结果不好，但是它是BM25模型的基础。 后来人们发现应该讲BIM中没有考虑到的词频和文档长度等因素都考虑进来，就有了后面的BM25算法。

BIM（二元假设模型）对于单词特征，只考虑单词是否在doc中出现过，并没有考虑单词本身的相关特征，BM25在BIM的基础上引入单词在查询中的权值，单词在doc中的权值，以及一些经验参数，所以BM25在实际应用中效果要远远好于BIM模型。

BM25由3部分组成：

在第二部分中K因子代表了文档长度的考虑，dl是文档的长度，avdl是文档的平均长度，k1和b是调整参数，b为0时即不考虑文档长度的影响，经验表明b=0.75左右效果比较好。但是也要根据相应的场景进行调整。b越大对文档长度的惩罚越大，k1因子用于调整词频，极限情况下k1=0，则第二部分退化成1，及词频特征失效，可以证明k1越大词频的作用越大。

在我们不知道哪些文档相关，哪些文档不相关的情况下，将相关文档数R及包含查询词相关文档数r设为0，那么第一部分的BIM公式退化成：

就是IDF因子的定义，N是总文档数，n是查询词的tf信息，0.5是平滑因子。