证明：

E ( X ) = n M N \quad E(X) = n\frac{M}{N} E(X)=nNM​

E ( X 2 ) = ∑ k = 0 m i n { n , M } k 2 ( k M ) ( n − k N − M ) ( n N ) = ∑ k = 0 m i n { n , M } k 2 M ! k ! ( M − k ) ! ( n − k N − M ) n ! ( N − n ) ! N ! = ∑ k = 1 m i n { n , M } k M ! ( k − 1 ) ! ( M − k ) ! ( n − k N − M ) n ! ( N − n ) ! N ! = ∑ k = 1 m i n { n , M } ( k − 1 ) M ! ( k − 1 ) ! ( M − k ) ! ( n − k N − M ) n ! ( N − n ) ! N ! + ∑ k = 1 m i n { n , M } M ! ( k − 1 ) ! ( M − k ) ! ( n − k N − M ) n ! ( N − n ) ! N ! = ∑ k = 2 m i n { n , M } M ( M − 1 ) ( M − 2 ) ! ( k − 2 ) ! ( M − k ) ! ( n − k N − M ) n ! ( N − n ) ! N ! + ∑ k = 0 m i n { n , M } k M ! k ! ( M − k ) ! ( n − k N − M ) n ! ( N − n ) ! N ! = M ( M − 1 ) n ! ( N − n ) ! N ! ∑ k = 2 m i n { n , M } ( k − 2 M − 2 ) ( n − k N − M ) + E ( X ) = M ( M − 1 ) n ! ( N − n ) ! N ! ( n − 2 N − 2 ) + n M N ( 范 德 蒙 恒 等 式 C m + n k = ∑ i = 0 k C m i C n k − i ) = M ( M − 1 ) n ( n − 1 ) N ( N − 1 ) + n M N = n M N [ ( M − 1 ) ( n − 1 ) N − 1 + 1 ] \quad\begin{aligned} E(X^2) &= \sum\limits_{k=0}^{min\{n,M\}}k^2\frac{(_k^M)(_{n-k}^{N-M})}{(_n^N)} \\&=\sum\limits_{k=0}^{min\{n,M\}}k^2\frac{M!}{k!(M-k)!}(_{n-k}^{N-M})\frac{n!(N-n)!}{N!} \\&=\sum\limits_{k=1}^{min\{n,M\}}k\frac{M!}{(k-1)!(M-k)!}(_{n-k}^{N-M})\frac{n!(N-n)!}{N!}\\ &=\sum\limits_{k=1}^{min\{n,M\}}(k-1)\frac{M!}{(k-1)!(M-k)!}(_{n-k}^{N-M})\frac{n!(N-n)!}{N!}+\sum\limits_{k=1}^{min\{n,M\}}\frac{M!}{(k-1)!(M-k)!}(_{n-k}^{N-M})\frac{n!(N-n)!}{N!}\\&=\sum\limits_{k=2}^{min\{n,M\}}\frac{M(M-1)(M-2)!}{(k-2)!(M-k)!}(_{n-k}^{N-M})\frac{n!(N-n)!}{N!}+\sum\limits_{k=0}^{min\{n,M\}}k\frac{M!}{k!(M-k)!}(_{n-k}^{N-M})\frac{n!(N-n)!}{N!} \\&=M(M-1)\frac{n!(N-n)!}{N!}\sum\limits_{k=2}^{min\{n,M\}}(_{k-2}^{M-2})(_{n-k}^{N-M})+E(X)\\&=M(M-1)\frac{n!(N-n)!}{N!}(_{n-2}^{N-2})+n\frac{M}{N} \quad (范德蒙恒等式C_{m+n}^k = \sum\limits_{i=0}^{k}C_{m}^iC_{n}^{k-i})\\&=M(M-1)\frac{n(n-1)}{N(N-1)}+n\frac{M}{N} \\&=n\frac{M}{N}[\frac{(M-1)(n-1)}{N-1}+1] \end{aligned} E(X2)​=k=0∑min{n,M}​k2(nN​)(kM​)(n−kN−M​)​=k=0∑min{n,M}​k2k!(M−k)!M!​(n−kN−M​)N!n!(N−n)!​=k=1∑min{n,M}​k(k−1)!(M−k)!M!​(n−kN−M​)N!n!(N−n)!​=k=1∑min{n,M}​(k−1)(k−1)!(M−k)!M!​(n−kN−M​)N!n!(N−n)!​+k=1∑min{n,M}​(k−1)!(M−k)!M!​(n−kN−M​)N!n!(N−n)!​=k=2∑min{n,M}​(k−2)!(M−k)!M(M−1)(M−2)!​(n−kN−M​)N!n!(N−n)!​+k=0∑min{n,M}​kk!(M−k)!M!​(n−kN−M​)N!n!(N−n)!​=M(M−1)N!n!(N−n)!​k=2∑min{n,M}​(k−2M−2​)(n−kN−M​)+E(X)=M(M−1)N!n!(N−n)!​(n−2N−2​)+nNM​(范德蒙恒等式Cm+nk​=i=0∑k​Cmi​Cnk−i​)=M(M−1)N(N−1)n(n−1)​+nNM​=nNM​[N−1(M−1)(n−1)​+1]​

∴ D ( X ) = E ( X 2 ) − [ E ( X ) ] 2 = n M N [ ( M − 1 ) ( n − 1 ) N − 1 + 1 ] − ( n M N ) 2 = n M N ( M n − M − n + 1 + N − 1 N − 1 − n M N ) = n M N [ M N n − M N − N n + N 2 − M N n + M n N ( N − 1 ) ] = n M N [ N ( N − M ) − n ( N − M ) N ( N − 1 ) ] = n M N [ ( N − M ) ( N − n ) N ( N − 1 ) ] = n M N ( 1 − M N ) ( N − n N − 1 ) . \quad\begin{aligned} \therefore D(X) &= E(X^2)-[E(X)]^2 = n\frac{M}{N}[\frac{(M-1)(n-1)}{N-1}+1]-(n\frac{M}{N})^2 = n\frac{M}{N}(\frac{Mn-M-n+1+N-1}{N-1}-n\frac{M}{N})\\ &= n\frac{M}{N}\bigg[\frac{MNn-MN-Nn+N^2-MNn+Mn}{N(N-1)}\bigg] \\&= n\frac{M}{N}\bigg[\frac{N(N-M)-n(N-M)}{N(N-1)}\bigg] = n\frac{M}{N}\bigg[\frac{(N-M)(N-n)}{N(N-1)}\bigg]\\&= n\frac{M}{N}(1-\frac{M}{N})(\frac{N-n}{N-1}). \end{aligned} ∴D(X)​=E(X2)−[E(X)]2=nNM​[N−1(M−1)(n−1)​+1]−(nNM​)2=nNM​(N−1Mn−M−n+1+N−1​−nNM​)=nNM​[N(N−1)MNn−MN−Nn+N2−MNn+Mn​]=nNM​[N(N−1)N(N−M)−n(N−M)​]=nNM​[N(N−1)(N−M)(N−n)​]=nNM​(1−NM​)(N−1N−n​).​